Kane–Mele 模型：量子スピンHall絶縁体The Kane–Mele Model: A Quantum Spin Hall Insulator

格子とスピン軌道ホッピングLattice and spin–orbit hopping

蜂の巣格子。● が A 副格子（\(+\lambda_v\)）、■ が B 副格子（\(-\lambda_v\)）で、 実線が最近接ホッピング \(t\) です。矢印は第2近接（同一副格子内）の スピン軌道ホッピング \(\pm i\lambda_{\mathrm{SO}}\) の符号 \(\nu_{ij}\) を表します： 矢印の向きにホップするとき、スピン ↑ には \(+i\lambda_{\mathrm{SO}}\)、 スピン ↓ には \(-i\lambda_{\mathrm{SO}}\) が付きます。逆向きなら符号が反転します。 \(\nu_{ij}\) の符号は「2ステップの経路が左に曲がるか右に曲がるか」で 決まっています。 つまりスピン ↑ と ↓ は、互いに逆向きの「磁束」を感じる Haldane 模型に従います。

The honeycomb lattice. Circles: A sublattice (\(+\lambda_v\)); squares: B sublattice (\(-\lambda_v\)); solid lines: nearest-neighbor hopping \(t\). The arrows show the sign \(\nu_{ij}\) of the next-nearest-neighbor (same-sublattice) spin–orbit hopping \(\pm i\lambda_{\mathrm{SO}}\): hopping along the arrows picks up \(+i\lambda_{\mathrm{SO}}\) for spin ↑ and \(-i\lambda_{\mathrm{SO}}\) for spin ↓, and the opposite sign against them. The sign \(\nu_{ij}\) encodes whether the two-step path bends left or right. Each spin species thus lives in a Haldane model with opposite effective flux.

バルクバンドとリボンのバンドBulk bands and ribbon bands

左：バルクのバンド構造（\(\Gamma\)–\(K\)–\(M\)–\(K'\)–\(\Gamma\)、青＝スピン ↑、赤＝スピン ↓）。 ギャップの大きさはスピン \(s\) と谷（\(K\) か \(K'\)）に依存する Dirac 質量 \(m = \lambda_v + 3\sqrt{3}\, s\, \lambda_{\mathrm{SO}}\, \eta\)（\(\eta = \mp 1\) が \(K\)/\(K'\)）で決まります。 \(\lambda_v\) を増やしていくと、スピン ↑ は \(K\) で、スピン ↓ は \(K'\) で ギャップが一度閉じて開き直します——これがトポロジカル転移です。 右：ジグザグリボン（幅 \(N = 10\) セル）のバンド構造。 QSH 相ではギャップを斜めに横断する4本のエッジ状態（各エッジに スピン ↑↓ の対）が見え、同じエッジではスピン ↑ と ↓ が逆向きに走ります （ヘリカルエッジ状態）。自明相ではエッジ状態はギャップから離れ、 バンドに吸収されます。

Left: bulk band structure along \(\Gamma\)–\(K\)–\(M\)–\(K'\)–\(\Gamma\) (blue = spin ↑, red = spin ↓). The gap is set by the Dirac mass \(m = \lambda_v + 3\sqrt{3}\, s\, \lambda_{\mathrm{SO}}\, \eta\), which depends on the spin \(s\) and the valley (\(\eta = \mp 1\) for \(K\)/\(K'\)). As \(\lambda_v\) grows, the gap closes and reopens at \(K\) for spin ↑ and at \(K'\) for spin ↓ — the topological transition. Right: band structure of a zigzag ribbon (\(N = 10\) cells wide). In the QSH phase four edge branches cross the gap (a Kramers pair of spins on each edge), with ↑ and ↓ propagating in opposite directions along the same edge — helical edge states. In the trivial phase the edge states detach from the gap and merge into the bulk bands.

相図Phase diagram

(\(\lambda_{\mathrm{SO}}\), \(\lambda_v\)) 平面の相図。● が現在のパラメータです。 境界線 \(\lambda_v = 3\sqrt{3}\,\lambda_{\mathrm{SO}}\) 上でだけバルクギャップが閉じ、 \(\mathbb{Z}_2\) 指数が 1（QSH）から 0（自明）へ切り替わります。 線上以外ではどう動いてもギャップは開いたままなので、 QSH 相の中でパラメータを連続的に変えてもエッジ状態は消えません。

Phase diagram in the (\(\lambda_{\mathrm{SO}}\), \(\lambda_v\)) plane; the dot marks the current parameters. The bulk gap closes only on the boundary line \(\lambda_v = 3\sqrt{3}\,\lambda_{\mathrm{SO}}\), where the \(\mathbb{Z}_2\) index switches between 1 (QSH) and 0 (trivial). Away from the line the gap stays open, so the edge states survive any continuous change of parameters within the QSH phase.

解説About

模型：グラフェン＋スピン軌道相互作用The model: graphene plus spin–orbit coupling

Kane–Mele 模型（2005）は、蜂の巣格子上のグラフェンに、対称性が許す スピン軌道相互作用を付け加えた模型です。

The Kane–Mele model (2005) is graphene on the honeycomb lattice, supplemented with the spin–orbit couplings allowed by symmetry:

第1項は最近接ホッピング、第3項は A/B 副格子で符号 \(\xi_i = \pm 1\) を変える ポテンシャル（反転対称性を破る項）です。核心は第2項——第2近接（同一副格子内）を結ぶ 純虚数ホッピングで、\(s^z\) はスピン、符号 \(\nu_{ij} = \pm 1\) はホップの経路が左回りか右回りかで決まります （上の格子図の矢印）。この項は時間反転対称性を保ちます： 虚数ホッピング \(i \to -i\) の反転が、スピン \(s^z \to -s^z\) の 反転でちょうど打ち消されるからです。

The first term is the nearest-neighbor hopping; the third is a staggered potential with \(\xi_i = \pm 1\) on the A/B sublattices (it breaks inversion symmetry). The heart of the model is the second term — a purely imaginary hopping between next-nearest neighbors (within a sublattice), where \(s^z\) is the spin and the sign \(\nu_{ij} = \pm 1\) depends on whether the two-step path turns left or right (the arrows in the lattice figure). This term respects time-reversal symmetry: flipping \(i \to -i\) is exactly compensated by flipping the spin \(s^z \to -s^z\).

Haldane 模型の2枚のコピーTwo copies of the Haldane model

\(s^z\) が保存する限り（Rashba 項がない限り）、ハミルトニアンは スピン ↑ とスピン ↓ のブロックに完全に分解します。各ブロックは Haldane 模型——蜂の巣格子上で正味の磁束なしに量子 Hall 効果を実現する 有名な模型——そのものであり、しかも2つのブロックは互いに時間反転の関係に あるため、実効磁束の符号が逆です。運動量空間では、スピン \(s\) のブロックは

As long as \(s^z\) is conserved (no Rashba term), the Hamiltonian decouples into spin-↑ and spin-↓ blocks. Each block is precisely the Haldane model — the famous realization of the quantum Hall effect on the honeycomb lattice without net magnetic flux — and the two blocks, being time-reversed partners, carry opposite effective flux. In momentum space the spin-\(s\) block reads

で、\(f(\boldsymbol{k})\) はグラフェンの最近接ホッピング因子です。Dirac 点 \(K\), \(K'\) では \(f = 0\)、\(\gamma = \mp 3\sqrt{3}\) となり、質量項

where \(f(\boldsymbol{k})\) is the graphene nearest-neighbor factor. At the Dirac points \(K\) and \(K'\) one has \(f = 0\) and \(\gamma = \mp 3\sqrt{3}\), so the Dirac mass becomes

となります。2バンドの Dirac 模型では、下バンドの Chern 数は2つの谷の質量の符号で

For a two-band Dirac model the Chern number of the lower band is fixed by the signs of the two valley masses,

と書けます（このページの読み出しもこの式で計算しています。別途 Fukui–Hatsugai の 格子 Berry 曲率法でも数値的に確認済みです）。\(\lambda_v < 3\sqrt{3}\,\lambda_{\mathrm{SO}}\) では \(C_\uparrow = -1\)、\(C_\downarrow = +1\)：2つのスピンが逆符号の 量子 Hall 状態にある、というのが量子スピン Hall（QSH）相の実体です。 全体の Chern 数は \(C_\uparrow + C_\downarrow = 0\)——時間反転対称な系で Hall 伝導度が消えるのは当然ですが、スピンごとに見れば非自明、というわけです。

(the readouts on this page use this formula; it has also been checked numerically with the Fukui–Hatsugai lattice Berry-curvature method). For \(\lambda_v < 3\sqrt{3}\,\lambda_{\mathrm{SO}}\) one finds \(C_\uparrow = -1\) and \(C_\downarrow = +1\): the two spin species sit in quantum Hall states of opposite sign — that is the substance of the quantum spin Hall (QSH) phase. The total Chern number \(C_\uparrow + C_\downarrow = 0\), as it must be in a time-reversal-invariant system, yet each spin sector is separately nontrivial.

時間反転対称性と \(\mathbb{Z}_2\) 指数Time-reversal symmetry and the \(\mathbb{Z}_2\) index

スピン \(1/2\) の系では時間反転演算子は \(\Theta^2 = -1\) を満たし、 Kramers の定理により、時間反転不変な運動量（1次元エッジなら \(k = 0, \pi\)）で すべての状態が2重に縮退します。この縮退が、ヘリカルエッジ状態の交差点を 守っています：交差を裂いてギャップを開けることは Kramers 縮退を破ることに なるため、時間反転対称性を保つ摂動では不可能なのです。

For spin-\(1/2\) systems the time-reversal operator obeys \(\Theta^2 = -1\), and Kramers' theorem forces every state at a time-reversal-invariant momentum (\(k = 0, \pi\) for a 1D edge) to be doubly degenerate. This degeneracy is what protects the crossing of the helical edge branches: splitting it open would violate Kramers' theorem, which no time-reversal-preserving perturbation can do.

\(s^z\) が保存する場合、\(\mathbb{Z}_2\) 指数は単純に \(\nu = C_\uparrow \bmod 2\) です。しかし Kane–Mele の本当の発見は、 \(s^z\) 保存が壊れても（次節の Rashba 項を入れても）意味を持ち続ける \(\mathbb{Z}_2\) 不変量 \(\nu \in \{0, 1\}\) が定義できることでした。整数（\(\mathbb{Z}\)）ではなく 2値（\(\mathbb{Z}_2\)）なのは、エッジの Kramers 対が2組あると、時間反転を保ったまま 対消滅できてしまうからです：守られるのは「Kramers 対の数の偶奇」だけなのです。

When \(s^z\) is conserved the \(\mathbb{Z}_2\) index is simply \(\nu = C_\uparrow \bmod 2\). The real discovery of Kane and Mele, however, was that a \(\mathbb{Z}_2\) invariant \(\nu \in \{0, 1\}\) remains well-defined even when \(s^z\) conservation is destroyed (by the Rashba term of the next section). The invariant is two-valued rather than an integer because two Kramers pairs of edge states can annihilate each other without breaking time reversal: only the parity of the number of Kramers pairs is protected.

ヘリカルエッジ状態と後方散乱の禁止Helical edge states and forbidden backscattering

QSH 相のエッジには、右向きに走るスピン ↑ と左向きに走るスピン ↓ の 1組の Kramers 対が住んでいます（ヘリカル液体）。この2つは互いの時間反転 パートナーなので、不純物による弾性後方散乱 \(|k, \uparrow\rangle \to |{-k}, \downarrow\rangle\) の 振幅は、不純物が非磁性（時間反転対称）である限り厳密に消えます。 直感的には、スピンを \(\pi\) 回転させながら戻る2つの経路（時計回りと反時計回り）が 位相 \(-1\) で干渉して打ち消し合うためです。かくして QSH のエッジ伝導は 非磁性不純物に対して量子化された値 \(2e^2/h\) （両エッジ合計）を保ちます。磁性不純物や磁場は時間反転を破るので、 この保護は失われます。

The edge of a QSH insulator hosts one Kramers pair: a right-moving spin-↑ branch and a left-moving spin-↓ branch (a helical liquid). Since the two are each other's time-reversal partners, the elastic backscattering amplitude \(|k, \uparrow\rangle \to |{-k}, \downarrow\rangle\) off any nonmagnetic (time-reversal-symmetric) impurity vanishes exactly. Intuitively, the two paths that rotate the spin by \(\pi\) — clockwise and counterclockwise — interfere with a relative phase of \(-1\) and cancel. The edge conductance therefore stays quantized at \(2e^2/h\) (both edges together) against nonmagnetic disorder. Magnetic impurities or a magnetic field break time reversal and destroy the protection.

Rashba 項を入れると何が起こるかWhat the Rashba term does

基板や電場があると、対称性は最近接の Rashba 型スピン軌道項 \(\lambda_R\)（\(s^x, s^y\) を含む項）も許します。 これは \(s^z\) の保存を壊すため、「スピン ↑ の Chern 数」という 言葉自体が意味を失います。それでも Kane–Mele が示したように、\(\mathbb{Z}_2\) 指数と ヘリカルエッジ状態は \(\lambda_R\) がバルクギャップを閉じるまで （\(\lambda_v = 0\) なら \(\lambda_R \lesssim 2\sqrt{3}\,\lambda_{\mathrm{SO}}\) 程度まで）生き残ります。 トポロジカルな保護の拠り所が「スピンの保存」ではなく「時間反転対称性」に あることを示す、決定的なポイントです。このページのシミュレーションは 見通しのよい \(s^z\) 保存の場合（\(\lambda_R = 0\)）に限っていますが、 物理の本質はこの範囲で全部見えます。

A substrate or an electric field also allows a nearest-neighbor Rashba spin–orbit term \(\lambda_R\) (involving \(s^x, s^y\)), which destroys \(s^z\) conservation — the very phrase "spin-↑ Chern number" loses its meaning. Yet, as Kane and Mele showed, the \(\mathbb{Z}_2\) index and the helical edge states survive until \(\lambda_R\) closes the bulk gap (for \(\lambda_v = 0\), up to \(\lambda_R \lesssim 2\sqrt{3}\,\lambda_{\mathrm{SO}}\)). This is the decisive point: the protection rests on time-reversal symmetry, not on spin conservation. The simulation on this page sticks to the transparent \(s^z\)-conserving case (\(\lambda_R = 0\)), where all the essential physics is already visible.

現実の物質へTo real materials

皮肉なことに、グラフェン自身のスピン軌道ギャップは \(\mu\mathrm{eV}\) 程度と極小で、 Kane–Mele 機構の QSH 効果は観測できていません。しかしこの提案が引き金となり、 Bernevig–Hughes–Zhang（BHZ）による HgTe/CdTe 量子井戸の理論提案（2006）と Würzburg グループによる観測（2007）で量子スピン Hall 効果は現実になりました。 その後、\(\mathbb{Z}_2\) 分類は3次元に拡張され（強いトポロジカル絶縁体、 Bi₂Se₃ 系など）、単層 WTe₂ での QSH 観測や、 ビスマスやスタネンなど「重い元素の蜂の巣格子」での Kane–Mele 物理の探索へと つながっていきます。トポロジカル物質科学というひとつの分野が、 この2枚の短い論文から始まりました。

Ironically, the spin–orbit gap of graphene itself is tiny — of order \(\mu\mathrm{eV}\) — and the Kane–Mele QSH effect has never been observed there. But the proposal triggered the Bernevig–Hughes–Zhang (BHZ) theory of HgTe/CdTe quantum wells (2006) and the observation by the Würzburg group (2007), which made the quantum spin Hall effect real. The \(\mathbb{Z}_2\) classification was then extended to three dimensions (strong topological insulators, the Bi₂Se₃ family), followed by QSH observations in monolayer WTe₂ and the ongoing search for Kane–Mele physics in heavy-element honeycombs such as bismuthene and stanene. An entire field — topological materials science — grew out of these two short papers.

このページの計算Numerics on this page

リボンのバンド構造は、ジグザグリボン（幅 10 セル、20 サイト）の Bloch ハミルトニアン \(H(k_x)\) を各 \(k_x\) で 複素 Hermite 行列として構成し、Jacobi 法で対角化しています （\(\nu_{ij}\) は経路の外積の符号から自動生成）。スピン ↓ のバンドは 時間反転対称性 \(E_\downarrow(k) = E_\uparrow(-k)\) を 使ってスピン ↑ から折り返しています。バルクバンドは \(2\times 2\) ブロックの 固有値 \(\pm\sqrt{|f|^2 + d_z^2}\) をそのまま 描いています。SSH のページと同様、実装は Python（NumPy）での独立計算と 照合済みです。

The ribbon bands are obtained by building the Bloch Hamiltonian \(H(k_x)\) of a zigzag ribbon (10 cells, 20 sites wide) as a complex Hermitian matrix at each \(k_x\) and diagonalizing it with the Jacobi method (the signs \(\nu_{ij}\) are generated automatically from the cross product of the two hop vectors). The spin-↓ bands are obtained from spin ↑ via time reversal, \(E_\downarrow(k) = E_\uparrow(-k)\). The bulk bands are the closed-form eigenvalues \(\pm\sqrt{|f|^2 + d_z^2}\) of the \(2\times 2\) blocks. As with the SSH page, the implementation has been validated against an independent Python (NumPy) calculation.

参考文献References

・C. L. Kane and E. J. Mele, Phys. Rev. Lett. 95, 226801 (2005); 95, 146802 (2005)——量子スピン Hall 効果と \(\mathbb{Z}_2\) 指数の原論文。
・F. D. M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 61, 2015 (1988)——Haldane 模型。
・B. A. Bernevig, T. L. Hughes, and S.-C. Zhang, Science 314, 1757 (2006)——HgTe 量子井戸の理論提案（BHZ）。
・M. König et al., Science 318, 766 (2007)——量子スピン Hall 効果の観測。

・C. L. Kane and E. J. Mele, Phys. Rev. Lett. 95, 226801 (2005); 95, 146802 (2005) — the original QSH and \(\mathbb{Z}_2\) papers.
・F. D. M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 61, 2015 (1988) — the Haldane model.
・B. A. Bernevig, T. L. Hughes, and S.-C. Zhang, Science 314, 1757 (2006) — the BHZ proposal for HgTe quantum wells.
・M. König et al., Science 318, 766 (2007) — observation of the quantum spin Hall effect.