界面成長：ランダム堆積 vs KPZSurface Growth: Random Deposition vs KPZ

同じ「粒を落として積む」でも、ルールがひとつ違うだけで界面のスケーリングが変わります（KPZ は Kardar–Parisi–Zhang の頭字語）。界面の幅 \(W(t)\) の log-log プロットで、成長指数 \(\beta = \dfrac{1}{2}\) と \(\dfrac{1}{3}\) の違いを見てみてください。

Two ways of dropping particles, one rule apart — and the interface scaling changes (KPZ stands for Kardar–Parisi–Zhang). Watch the log-log plot of the width \(W(t)\) distinguish the growth exponents \(\beta = \dfrac{1}{2}\) and \(\dfrac{1}{3}\).

ランダム堆積（独立ランダムウォーク）Random deposition (independent random walks)

RSOS 模型（Restricted Solid-On-Solid、KPZ クラス）The RSOS (restricted solid-on-solid) model (KPZ class)

速さ（層/フレーム）Speed (monolayers/frame): 2.0

\(t\) = 0 層monolayers, \(L\) = 1024（周期境界条件periodic boundaries）
\(W_{\mathrm{RD}}\) = 0.0, \(W_{\mathrm{RSOS}}\) = 0.0

界面の幅 \(W(t)\)（log-log）Interface width \(W(t)\) (log-log)

解説About

高さ \(h_i\) の界面の「荒れ具合」を測る量が、界面の幅（高さの標準偏差）です。

The "roughness" of an interface with heights \(h_i\) is measured by the interface width — the standard deviation of the height,

\[ W(L,t) \;=\; \sqrt{\, \frac{1}{L} \sum_{i=1}^{L} \left( h_i - \bar{h} \right)^2 \,} \]

ランダム堆積（左・青）では、ランダムに選んだ列に粒がそのまま積まれます。各列の高さは他の列と一切相関を持たず、それぞれが独立な Poisson 過程 ——時間方向のランダムウォーク——になります。平均 \(t\)（単位：層）の Poisson 分布は分散も \(t\) なので、幅は厳密に

In random deposition (left, blue), each particle simply stacks on a randomly chosen column. The columns are completely uncorrelated: each height is an independent Poisson process — a random walk in time. Since a Poisson distribution with mean \(t\) (in monolayers) also has variance \(t\), the width obeys exactly

\[ W_{\mathrm{RD}}(t) \;=\; \sqrt{t} \]

となります。シミュレーションの値がこの式にぴったり乗ること（例えば \(t = 1000\) で \(W \approx 31.6\)）を確認してみてください。横方向の相関は永遠に育たず、界面はどこまでも荒れ続けます。

Check that the simulated values sit right on this curve (e.g. \(W \approx 31.6\) at \(t = 1000\)). Lateral correlations never develop, and the surface roughens without bound.

RSOS 模型（右・赤、Kim–Kosterlitz 模型）では、粒はランダムに選んだ列に落ちますが、積んだ後も両隣との高低差が1以内に収まるときだけ受け入れられます。この制約が隣の列どうしを結びつけ、横方向の相関長が時間とともに \(\xi_\parallel \sim t^{1/z}\) で成長します。このような成長界面は一般に Family–Vicsek スケーリングに従います。

In the RSOS model (right, red; Kim–Kosterlitz), a particle drops onto a random column but is accepted only if the height differences with both neighbors stay at most one. This constraint couples neighboring columns, and a lateral correlation length grows as \(\xi_\parallel \sim t^{1/z}\). Growing interfaces of this kind generally obey Family–Vicsek scaling,

\[ W(L,t) \;\simeq\; L^{\alpha} \, f\!\left( \frac{t}{L^{z}} \right), \qquad f(u) \sim \begin{cases} u^{\beta} & (u \ll 1) \\[2pt] \mathrm{const} & (u \gg 1) \end{cases}, \qquad \beta = \frac{\alpha}{z} \]

つまり最初は \(W \sim t^{\beta}\) で成長し、相関長が系のサイズに達する \(t \sim L^{z}\) で成長が止まって \(W \sim L^{\alpha}\) に飽和します。このページの設定 \(L = 1024\) では \(L^{z} \approx 3\times10^4\) 層ですが、これは係数を無視したスケーリング評価で、実際には一桁ほど早い \(t \sim 4\times10^3\) 層あたりから成長の鈍りが見え始めます。プロット右端で赤い曲線が破線 \(t^{1/3}\) から下に外れて寝てくるのは、まさにこの飽和クロスオーバーの入り口です。

That is, the width first grows as \(W \sim t^{\beta}\), and saturates at \(W \sim L^{\alpha}\) once the correlation length reaches the system size at \(t \sim L^{z}\). For the present \(L = 1024\) this gives \(L^{z} \approx 3\times10^4\) monolayers, but that scaling estimate ignores prefactors: in practice the growth starts to bend over about a decade earlier, around \(t \sim 4\times10^3\). The flattening of the red curve below the dashed \(t^{1/3}\) guide near the right edge of the plot is precisely the onset of this saturation crossover.

この普遍クラスの連続記述が、KPZ（Kardar–Parisi–Zhang）方程式です。

The continuum description of this universality class is the KPZ (Kardar–Parisi–Zhang) equation,

\[ \frac{\partial h}{\partial t} \;=\; \nu \nabla^2 h \;+\; \frac{\lambda}{2} \left( \nabla h \right)^2 \;+\; \eta, \qquad \left\langle \eta(x,t)\,\eta(x',t') \right\rangle = 2D\,\delta(x-x')\,\delta(t-t') \]

非線形項 \((\nabla h)^2\) は「傾いた斜面は法線方向に成長する」という幾何学的な効果を表していて、これこそがランダム堆積や、\(\lambda = 0\) の線形理論（Edwards–Wilkinson 方程式：1+1次元で \(\beta = \dfrac{1}{4}\) の別クラス）との本質的な違いです。 1+1次元の KPZ では、ガリレイ不変性と揺動散逸関係という2つの特殊事情によって臨界指数が厳密に決まります。

The nonlinear term \((\nabla h)^2\) encodes the geometric fact that a tilted surface grows along its normal — this is the essential difference from random deposition and from the linear \(\lambda = 0\) theory (the Edwards–Wilkinson equation, a distinct class with \(\beta = \dfrac{1}{4}\) in 1+1 dimensions). In 1+1 dimensions, Galilean invariance together with a fluctuation-dissipation relation fixes the exponents exactly:

\[ \alpha = \frac{1}{2}, \qquad \beta = \frac{1}{3}, \qquad z = \frac{3}{2} \]

ちなみに、KPZ クラスの代表例としてよく紹介される ballistic deposition （落ちてきた粒が隣の柱に触れた瞬間にくっつく模型）も同じユニバーサリティクラスですが、固有幅によるスケーリング補正が大きく、小さな系では \(\beta = \dfrac{1}{3}\) が見えにくいことが知られています。このページで RSOS 模型を採用しているのはそのためです。

Incidentally, ballistic deposition — the model where a falling particle sticks the moment it touches a neighboring column — belongs to the same universality class and is the textbook example of KPZ growth, but its intrinsic-width corrections to scaling are notoriously large, hiding \(\beta = \dfrac{1}{3}\) in small systems. That is why this page uses the RSOS model.

KPZ は今も発展し続けている分野です。1+1次元では高さ揺らぎの分布そのものが厳密に求められていて、なんとランダム行列理論の Tracy–Widom 分布に従うことが知られています（初期条件が平坦か曲面かで、GOE（Gaussian Orthogonal Ensemble）と GUE（Gaussian Unitary Ensemble）が切り替わる、という美しいおまけ付きです）。この普遍性は液晶乱流の実験（竹内・佐野）でも観測されています。理論の入り口としては、 M. Kardar 先生の Statistical Physics of Fields の §9.6 が感動的なので、ぜひ参照してください。

KPZ remains a thriving field. In 1+1 dimensions the full distribution of height fluctuations has been computed exactly, and it follows — remarkably — the Tracy–Widom distributions of random matrix theory (with the beautiful twist that flat versus curved initial conditions select the Gaussian orthogonal ensemble (GOE) versus the Gaussian unitary ensemble (GUE)). This universality has even been observed in liquid-crystal turbulence experiments (Takeuchi–Sano). For the theory, Section 9.6 of M. Kardar's Statistical Physics of Fields is breathtaking; do have a look.

参考文献References

・M. Kardar, G. Parisi, and Y.-C. Zhang, Phys. Rev. Lett. 56, 889 (1986)——KPZ 方程式の原論文。
・J. M. Kim and J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. Lett. 62, 2289 (1989)——このページでも使っている RSOS 模型。
・A.-L. Barabási and H. E. Stanley, Fractal Concepts in Surface Growth (Cambridge UP, 1995)——界面成長の定番教科書。
・T. Sasamoto and H. Spohn, Phys. Rev. Lett. 104, 230602 (2010)——KPZ 方程式の厳密解。

・M. Kardar, G. Parisi, and Y.-C. Zhang, Phys. Rev. Lett. 56, 889 (1986) — the original KPZ paper.
・J. M. Kim and J. M. Kosterlitz, Phys. Rev. Lett. 62, 2289 (1989) — the RSOS model used on this page.
・A.-L. Barabási and H. E. Stanley, Fractal Concepts in Surface Growth (Cambridge UP, 1995) — the standard surface-growth textbook.
・T. Sasamoto and H. Spohn, Phys. Rev. Lett. 104, 230602 (2010) — an exact solution of the KPZ equation.