ねじれ2層グラフェン：モアレ模様と平坦バンドTwisted Bilayer Graphene: Moiré Patterns and Flat Bands

実空間：2枚のハニカム格子とモアレ模様Real space: two honeycomb lattices and the moiré pattern

モアレ周期Moiré period \(L_{\mathrm{M}}\) = — ・ モアレ単位胞あたりの原子数atoms per moiré cell ≈ —

黒いハニカムシートが1層目（\(+\theta/2\) 回転）、赤いシートが2層目（\(-\theta/2\) 回転、 ひと回り大きく描いてあるので縁が見えます）です。\(\theta = 0\) では2枚は完全に重なり、 ただのハニカム格子にしか見えません。ところが \(\theta\) を少し回すと、 六角形が重なって濃く見える場所（AA 積層）と、ずれて網目が細かく見える場所 （AB/BA 積層）が交互に現れ、周期 \(L_{\mathrm{M}} = a/[2\sin(\theta/2)]\) の三角格子模様——モアレ模様——が 浮かび上がります。視野と格子の大きさは固定で、起きているのは2枚の相対回転だけです。 \(\theta\) を小さくするほど模様は大きく育っていきます（矢印が \(L_{\mathrm{M}}\)）。

The black honeycomb sheet is layer 1 (rotated by \(+\theta/2\)); the red sheet is layer 2 (\(-\theta/2\), drawn slightly larger so its edge stays visible). At \(\theta = 0\) the two sheets coincide perfectly and look like a single honeycomb. Turn \(\theta\) slightly and regions where the hexagons align (AA stacking) alternate with regions where they interleave (AB/BA), revealing the triangular moiré pattern of period \(L_{\mathrm{M}} = a/[2\sin(\theta/2)]\). The field of view and lattice scale are fixed — the only thing changing is the relative rotation. As \(\theta\) decreases the pattern grows (the arrow marks \(L_{\mathrm{M}}\)).

運動量空間：モアレバンド構造Momentum space: the moiré band structure

まずは大きめの \(\theta\) から出発して、スライダーを少しずつ下げてみてください。 赤い Dirac 錐がだんだん押しつぶされ、「魔法角 \(\theta = 1.05^{\circ}\)」のボタンを押すと、 灰色のバンドに挟まれたほぼ完全に平坦な赤いバンドが現れます—— これが強相関物理と超伝導の舞台になる平坦バンドです。 Start from a large \(\theta\) and lower the slider step by step: the red Dirac cone gets squeezed flatter and flatter, and hitting the “Magic \(\theta = 1.05^{\circ}\)” button reveals an almost perfectly flat red band sandwiched between the gray bands — the flat band on which correlated physics and superconductivity play out.

Dirac 点のずれDirac-point mismatch \(q_{\theta}\) = — ・ \(\varepsilon_{\theta} = \hbar v\, q_{\theta}/2\) = — ・ \(u'/\varepsilon_{\theta}\) = —
中央バンドの幅Central bandwidth \(W\) = — ・ 速度繰り込みVelocity renormalization \(v^{*}/v\) ≈ —

連続体模型で計算したモアレバンドの3次元表示（バレー \(\xi = +\)）。 底面の六角形が波数空間のモアレ Brillouin ゾーン（\(\gamma\) が中心、頂点の \(\kappa\) と \(\kappa'\) が 1層目・2層目の Dirac 点の位置）で、その上にエネルギー窓 \(\pm 0.25\) eV に入る すべてのバンドを半透明のシートとして描いています（電荷中性点を挟む中央の 2枚だけ赤系で色付け）。\(\kappa\) と \(\kappa'\) では Dirac 円錐が ギャップを開かずに生き残っています。\(\theta\) を下げていくと円錐の傾き （電子の速度）が下がってバンド全体が押しつぶされ、\(\theta \approx 1.05^{\circ}\) で赤い2枚が 数十 meV 幅の平坦な板になります——これが魔法角の平坦バンドです。 上の読み出しで幅 \(W\) と \(v^{*}/v\) の変化を追ってみてください。

A three-dimensional view of the continuum-model moiré bands (valley \(\xi = +\)). The hexagon at the base is the moiré Brillouin zone in momentum space (\(\gamma\) at the center; the corners \(\kappa\) and \(\kappa'\) host the Dirac points of layers 1 and 2), and every band entering the energy window \(\pm 0.25\) eV is drawn as a translucent sheet (the two central bands straddling charge neutrality are tinted red). The Dirac cones at \(\kappa\) and \(\kappa'\) survive without gapping; as \(\theta\) decreases the cone slope — the electron velocity — drops, the spectrum gets squeezed, and at \(\theta \approx 1.05^{\circ}\) the two red sheets collapse into a nearly flat slab a few tens of meV thick: the magic-angle flat band. Track \(W\) and \(v^{*}/v\) in the readouts above.

解説About

モアレ模様：うなりの2次元版Moiré patterns: beats in two dimensions

振動数のわずかに違う2つの音を同時に鳴らすと、差の振動数 \(f_{1} - f_{2}\) でゆっくり振動する「うなり」が 聞こえます。モアレ模様はこの空間版です。2枚の格子はほぼ同じ波数を持ちますが、 角度 \(\theta\) だけ回転しているため、逆格子ベクトルが

Play two tones of slightly different frequencies and you hear a beat, oscillating slowly at the difference frequency \(f_{1} - f_{2}\). A moiré pattern is the spatial version. The two lattices carry nearly the same wave vectors, but the rotation by \(\theta\) leaves a small mismatch between their reciprocal vectors,

だけ食い違います。この「差の波数」が作る長波長の変調がモアレ模様であり、 その実空間周期が

and this difference wave vector generates a long-wavelength modulation — the moiré — whose real-space period is

です。角度に反比例して伸びるのがポイントで、\(\theta = 1^{\circ}\) なら \(L_{\mathrm{M}} \approx 14\) nm、モアレ単位胞1個に1万個を超える炭素原子が入ります。 単位胞の中では、局所的な積層の仕方が AA（六角形が完全に重なる）→ AB → BA と 場所とともにゆっくり一巡します。なお実際の試料では格子が自発的に歪み（格子緩和）、 エネルギーの低い AB/BA 積層の三角形ドメインが広がって AA 領域が縮む、 という再構成が起こることも知られています。

The inverse dependence on angle is the point: at \(\theta = 1^{\circ}\), \(L_{\mathrm{M}} \approx 14\) nm and a single moiré cell contains more than ten thousand carbon atoms. Within the cell, the local stacking slowly cycles through AA (hexagons perfectly aligned), AB, and BA. In real samples the lattice also relaxes: the low-energy AB/BA regions grow into triangular domains while the AA regions shrink.

連続体模型：原子を忘れ、モアレだけを残すThe continuum model: forget the atoms, keep the moiré

一般の \(\theta\) では2枚の格子は正確には整合せず、系全体には厳密な意味での結晶周期が ありません。それでも \(\theta\) が小さければ、原子スケール \(a\) とモアレスケール \(L_{\mathrm{M}}\) がよく分離しているので、原子構造を粗視化して 「モアレ周期だけを持つ有効理論」を作れます。それが連続体模型 （Bistritzer–Macdonald 型模型）です。各層の低エネルギー電子は Dirac ハミルトニアンで記述し、層間の飛び移りを、モアレ周期で変調された 結合 \(U(\boldsymbol{r})\) として取り込みます：

At generic \(\theta\) the two lattices are incommensurate — strictly speaking the system has no crystal period at all. But for small \(\theta\) the atomic scale \(a\) and the moiré scale \(L_{\mathrm{M}}\) are well separated, so one can coarse-grain the atomic structure into an effective theory that knows only the moiré period: the continuum (Bistritzer–MacDonald) model. Each layer contributes a Dirac Hamiltonian, and the interlayer tunneling enters as a coupling \(U(\boldsymbol{r})\) modulated with the moiré period:

ここで \(\boldsymbol{q}_{1,2,3}\) は、回転によってずれた2層の Dirac 点の差 （大きさ \(q_{\theta} = 2K \sin(\theta/2)\)、120° 対称の3本）で、 \(T_{j}\) は \(2 \times 2\) の結合行列です。その成分には2つのパラメータが 入ります：AA 領域での層間結合 \(u\) と、AB/BA 領域での結合 \(u'\) です （格子緩和で AA 領域が縮み層間距離も開くため、\(u < u'\) と なります。このページでは \(u = 0.079\) eV、\(u' = 0.098\) eV を 使っています）。

Here \(\boldsymbol{q}_{1,2,3}\) are the three 120°-symmetric offsets between the Dirac points of the two rotated layers (of magnitude \(q_{\theta} = 2K \sin(\theta/2)\)), and \(T_{j}\) are \(2 \times 2\) coupling matrices containing two parameters: the interlayer coupling \(u\) in the AA regions and \(u'\) in the AB/BA regions (lattice relaxation shrinks the AA regions and widens their interlayer distance, so \(u < u'\); this page uses \(u = 0.079\) eV, \(u' = 0.098\) eV).

バンド計算は普通の Bloch 電子と同じ手順でできます。1層目の波数 \(\boldsymbol{k}\) の状態は、 \(U\) を1回かけるごとに2層目の \(\boldsymbol{k} + \boldsymbol{q}_{j}\) の状態と 混成し、それを繰り返すとモアレ逆格子ベクトルの分だけ離れた平面波の集合が 閉じた基底を作ります。低エネルギーのバンドには Dirac 点の近くの波だけが効くので、 有限個（このページでは各層7個、行列サイズ \(28 \times 28\)）で打ち切って対角化すれば 十分です。この最小の打ち切りでも、魔法角付近の中央バンド幅は収束計算と 1〜2割以内で一致し、バンドが潰れていく様子は正しく再現されます。

Band structures then follow the ordinary Bloch procedure: a layer-1 state at \(\boldsymbol{k}\) hybridizes, through \(U\), with layer-2 states at \(\boldsymbol{k} + \boldsymbol{q}_{j}\), and iterating generates a closed set of plane waves separated by moiré reciprocal vectors. Only waves near the Dirac points matter at low energy, so truncating to a finite set (seven waves per layer here — a \(28 \times 28\) matrix) suffices: even this minimal truncation reproduces the central bandwidth near the magic angle to within 10–20% of the converged value, and the band flattening faithfully.

2つのエネルギースケールの競争と魔法角A competition of two energy scales, and the magic angle

モアレバンドの形を決めるのは、たった2つのスケールの比です。ひとつは層間結合の 強さ \(u' \sim 0.1\) eV——これは \(\theta\) にほとんど依存しません。もうひとつは、 ずれた2つの Dirac 円錐が交わる高さ

The shape of the moiré bands is controlled by the ratio of just two scales. One is the interlayer coupling \(u' \sim 0.1\) eV, essentially independent of \(\theta\). The other is the energy at which the two displaced Dirac cones intersect,

です。\(\theta\) が大きいうちは \(\varepsilon_{\theta} \gg u'\) で、層間結合は円錐の交線に 小さなギャップを開ける摂動にすぎません。ところが \(\theta\) を下げると \(\varepsilon_{\theta}\) は \(\theta\) に比例して小さくなり、\(\theta \approx 1^{\circ}\) で \(u'/\varepsilon_{\theta}\) が 1 を超えます。 ここでは層間結合はもはや摂動ではなく、Dirac 円錐は原形をとどめない モアレバンドに再構成されます。摂動論の範囲でも前兆は見えていて、 Dirac 点の速度は

For large \(\theta\), \(\varepsilon_{\theta} \gg u'\) and the interlayer coupling is a small perturbation that merely opens minigaps along the cone intersections. As \(\theta\) decreases, \(\varepsilon_{\theta}\) shrinks linearly, and around \(\theta \approx 1^{\circ}\) the ratio \(u'/\varepsilon_{\theta}\) exceeds one: the coupling is no longer perturbative and the Dirac cones are reorganized into moiré bands beyond recognition. Perturbation theory already announces this: the Dirac-point velocity renormalizes as

と繰り込まれ（等方結合 \(u = u'\) の場合の式）、\(\alpha = 1/\sqrt{3}\) で ゼロになります。これが第一魔法角のおおまかな位置で、実際の計算では \(\theta \approx 1.05^{\circ}\) 付近で中央の2本のバンドの幅が数 meV まで潰れます。 上のシミュレーションで \(\theta\) を 3° から魔法角までゆっくり下げると、 赤いバンドが平らに潰れていく一部始終が見られます。 ちなみに Dirac 点そのものは魔法角でもギャップを開けずに生き残ります—— これは系の対称性が保護する縮退です。

(the isotropic-coupling formula, \(u = u'\)), vanishing at \(\alpha = 1/\sqrt{3}\). That is roughly the first magic angle; in the actual calculation the two central bands collapse to a few meV around \(\theta \approx 1.05^{\circ}\). Slide \(\theta\) slowly from 3° down to the magic angle above and you can watch the red bands flatten in real time. The Dirac points themselves survive ungapped even at the magic angle — a degeneracy protected by the symmetries of the system.

平坦バンドの先：超伝導とモアレ物質科学Beyond the flat band: superconductivity and moiré materials

バンドが平坦になるとは、電子の運動エネルギーが事実上消えるということです。 すると相対的に電子間相互作用が支配的になり、系は強相関電子系として振る舞います。 2018年、魔法角付近のねじれ2層グラフェンで、モアレバンドの部分充填における 相関絶縁体と、それに隣接する超伝導（転移温度 \(\sim 1\) K）が発見されると、 この分野は爆発的に広がりました。特筆すべきは制御性です：ねじれ角という たった1つの幾何学的パラメータ（しかも 0.1° 単位の精度が要る！）で、 同じ炭素のシートが半金属にも、Mott 的絶縁体にも、超伝導体にもなる。 以後、グラフェン多層系や遷移金属ダイカルコゲナイドなど様々な2次元物質を モアレ積層する「モアレ物質科学」が生まれ、分数 Chern 絶縁体のような 新奇な相の舞台にもなっています。Hofstadter バタフライのページで触れた 「モアレ超格子でバタフライを観測する」話も、この同じ舞台装置の上にあります。

A flat band means the electronic kinetic energy has effectively vanished, so interactions take over and the system behaves as a strongly correlated electron system. The 2018 discovery of correlated insulators at partial fillings of the moiré bands — and of superconductivity (\(T_{\mathrm{c}} \sim 1\) K) right next to them — in magic-angle twisted bilayer graphene set off an explosion. What is remarkable is the control: a single geometric parameter, the twist angle (tuned to within \(\sim 0.1^{\circ}\)!), turns the same carbon sheets into a semimetal, a Mott-like insulator, or a superconductor. The field of moiré materials — twisting graphene multilayers, transition-metal dichalcogenides, and more — grew from here, hosting exotic phases up to fractional Chern insulators. The moiré-superlattice observation of the Hofstadter butterfly mentioned on the butterfly page sits on this very same stage.

参考文献References

・R. Bistritzer and A. H. MacDonald, PNAS 108, 12233 (2011) ——連続体模型の原論文。
・N. N. T. Nam and M. Koshino, Phys. Rev. B 96, 075311 (2017) ——格子緩和を取り込んだパラメータ（\(u = 0.079\) eV, \(u' = 0.098\) eV）はこちらに基づきます。
・越野幹人 著『グラフェンの物理学 —ディラック電子とトポロジカル物性の基礎—』（内田老鶴圃） 第9章「モアレ2次元物質」——体系的な解説として最良です。このページの記号の取り方も 同書に合わせています。

・R. Bistritzer and A. H. MacDonald, PNAS 108, 12233 (2011) — the original continuum-model paper.
・N. N. T. Nam and M. Koshino, Phys. Rev. B 96, 075311 (2017) — source of the relaxed parameters (\(u = 0.079\) eV, \(u' = 0.098\) eV).
・M. Koshino, グラフェンの物理学 (Physics of Graphene), Uchida Rokakuho, Chapter 9 — the best systematic exposition; this page follows its notation.