MPS はどこまで正確か？— 横磁場 Ising 模型によるベンチマークHow Accurate Is an MPS? — Benchmark on the Transverse-Field Ising Model

図1：基底エネルギー密度の誤差Fig. 1: Error in the ground-state energy density

基底エネルギー密度の厳密解との差 \(|\Delta e|\) を横磁場 \(h\) に対して片対数プロット したもの（iDMRG、単位胞2サイト）。臨界点 \(h_c = 1\) から離れると、 \(\chi = 8\) 程度ですでに誤差は \(10^{-13}\)〜\(10^{-15}\)、つまり倍精度演算の丸め誤差の 床に到達します。底に張り付いた点はアンザッツの限界ではなく計算機の限界です。 一方、臨界点近傍だけは有限の \(\chi\) では誤差が残り、山になります。

Semi-log plot of the deviation \(|\Delta e|\) of the ground-state energy density from the exact value, versus the transverse field \(h\) (iDMRG, two-site unit cell). Away from the critical point \(h_c = 1\), already \(\chi = 8\) pushes the error down to \(10^{-13}\)–\(10^{-15}\) — the round-off floor of double-precision arithmetic. The points sitting on that floor mark the limit of the computer, not of the ansatz. Only near criticality does a finite \(\chi\) leave a visible peak of residual error.

図2：磁化の厳密解との比較Fig. 2: Magnetizations vs the exact solution

実線が厳密解、記号が MPS です。横磁化 \(\langle \sigma^z \rangle\)（赤）はどの \(\chi\) でも 実線に重なるため \(\chi = 32\) のみ示しています。秩序変数 \(\langle \sigma^x \rangle\)（青）は \(h < 1\) で \((1 - h^2)^{1/8}\) に完全に一致する一方、 臨界点直上では有限の \(\chi\) が「偽の秩序」を残すことが見えます（\(\chi\) を増やすとゆっくり 減っていきます）。有限の \(\chi\) は実効的に臨界点をわずかにずらすため、転移のごく近傍だけは \(\chi\) 依存性が残る、という典型的な有限エンタングルメント効果です。

Solid lines: exact; symbols: MPS. The transverse magnetization \(\langle \sigma^z \rangle\) (red) coincides with the exact curve for every \(\chi\), so only \(\chi = 32\) is shown. The order parameter \(\langle \sigma^x \rangle\) (blue) reproduces \((1 - h^2)^{1/8}\) perfectly for \(h < 1\), but right at the critical point a finite \(\chi\) leaves a spurious remnant order that decays only slowly with growing \(\chi\). A finite bond dimension effectively shifts the critical point slightly — a textbook finite-entanglement effect, confined to the immediate vicinity of the transition.

図3：臨界点 \(h = 1\) での \(\chi\) 依存性Fig. 3: \(\chi\)-dependence at the critical point \(h = 1\)

(a) 臨界点でのエネルギー誤差の \(\chi\) 依存性（両対数）。\(\chi\) を倍にするごとに誤差は およそ1桁ずつ落ちていきます。(b) MPS の転送行列から求めた相関長 \(\xi(\chi)\)。 臨界点では真の相関長は無限大ですが、有限の \(\chi\) が保持できるエンタングルメントを 頭打ちにするため、MPS は有限の相関長を持ちます。その成長は有限エンタングルメント・ スケーリング \(\xi \propto \chi^{\kappa}\)（破線、Ising ユニバーサリティクラス \(c = \dfrac{1}{2}\) に対する理論値 \(\kappa \approx 2.034\)）によく従います。実際 \(\chi = 16 \to 32\) では \(\xi\) が 76 → 311 と、理論比 \(2^{2.03} \approx 4.1\) 倍で伸びています。白抜きの \(\chi = 64\) の点が直線から下に ずれているのは、同じ反復回数では収束しきらなかったためで、臨界点近傍で MPS を 収束させるコストが \(\chi\) とともに急増することの現れです。

(a) Log-log plot of the energy error at criticality: each doubling of \(\chi\) buys roughly one decade of accuracy. (b) Correlation length \(\xi(\chi)\) extracted from the MPS transfer matrix. At criticality the true correlation length is infinite, but a finite \(\chi\) caps the entanglement the state can hold, so the MPS acquires a finite \(\xi\). Its growth follows the finite-entanglement scaling \(\xi \propto \chi^{\kappa}\) (dashed line; the theoretical value \(\kappa \approx 2.034\) for the Ising universality class, \(c = \dfrac{1}{2}\)). Indeed, from \(\chi = 16\) to 32, \(\xi\) grows from 76 to 311 — the predicted factor of \(2^{2.03} \approx 4.1\). The open \(\chi = 64\) point falls below the line because it did not fully converge within the same sweep budget, illustrating how steeply the cost of converging an MPS grows near criticality.

解説About

模型と厳密解The model and its exact solution

対象は1次元の横磁場 Ising 模型

The subject is the 1D transverse-field Ising model,

です（以下 \(J = 1\)）。この模型は Jordan–Wigner 変換によって自由フェルミオンに 厳密に書き換えられ、分散

(we set \(J = 1\)). The Jordan–Wigner transformation maps it exactly onto free fermions with dispersion

を持ちます。基底エネルギー密度は占有されたモードの和

The ground-state energy density is the filled-mode sum

で与えられ、横磁化 \(\langle \sigma^z \rangle\) も同様の \(k\) 積分で書けます。 さらに Pfeuty (1970) により、秩序変数は

and the transverse magnetization \(\langle \sigma^z \rangle\) is a similar \(k\)-integral. Moreover, Pfeuty (1970) showed that the order parameter takes the closed form

という閉じた形を取ることが知られています。\(h_c = 1\) の量子相転移は 2次元古典 Ising 模型と同じユニバーサリティクラス（セントラルチャージ \(c = \dfrac{1}{2}\) の共形場理論）に属します。 つまりこの模型では、比べるべき「正解」がすべて手元にある——数値手法のベンチマークとして 理想的な舞台です。

The quantum phase transition at \(h_c = 1\) belongs to the same universality class as the 2D classical Ising model — a conformal field theory with central charge \(c = \dfrac{1}{2}\). In other words, every "right answer" is available in closed form, making this model the ideal benchmark stage for a numerical method.

どう計算したかHow the MPS data were computed

MPS 側のデータは TeNPy を用いた無限系 DMRG（iDMRG）で計算しました。2サイトの単位胞を持つ 無限一様 MPS を変分的に最適化する方法で、熱力学極限を有限サイズ効果なしに直接扱えます。 収束判定はエネルギーの変化が \(10^{-13}\) 程度に落ち着くまでスイープを繰り返す、 という素朴なものです。調整するパラメータは実質ボンド次元 \(\chi\) だけで、 これが「MPS が保持できるエンタングルメントの量」を決めます （2分割エンタングルメント・エントロピーの上限が \(\ln \chi\)）。 図2の秩序変数を出すときは対称性を保存せず、わずかに対称性を破った初期状態から 出発して自発的対称性の破れを再現させています。逆に図3の臨界スケーリングでは パリティ対称性を保存して計算しています。

The MPS data were obtained with infinite-system DMRG (iDMRG) in TeNPy: a uniform infinite MPS with a two-site unit cell is optimized variationally, giving direct access to the thermodynamic limit with no finite-size effects. Convergence simply means sweeping until the energy settles at the \(10^{-13}\) level. The only real knob is the bond dimension \(\chi\), which caps the amount of entanglement the state can carry (the bipartite entanglement entropy is bounded by \(\ln \chi\)). For the order parameter in Fig. 2 the calculation does not enforce the symmetry and starts from a slightly symmetry-broken state, so that spontaneous symmetry breaking can occur; for the critical scaling in Fig. 3, parity is conserved instead.

なぜ、ここまで正確なのかWhy is it this accurate?

図1の凄みは、\(\chi = 8\) という「手のひらサイズ」の行列で誤差が丸め誤差の床に達する点です。 理由はエンタングルメントの構造にあります。ギャップのある1次元基底状態は 面積則を満たし、シュミット係数が指数関数的に減衰するため、 小さな \(\chi\) の MPS で波動関数をほぼ厳密に表現できます。誤差はおおむね切り捨てた シュミット係数の重みで決まり、\(\chi\) に対して指数関数的に落ちます。 「基底状態計算では1次元は解かれた問題」と言われるのはこのためです。

The striking feature of Fig. 1 is that a palm-sized \(\chi = 8\) matrix already drives the error onto the round-off floor. The reason is the structure of entanglement: gapped 1D ground states obey the area law, their Schmidt coefficients decay exponentially, and so a small-\(\chi\) MPS represents the wavefunction essentially exactly. The error tracks the discarded Schmidt weight and falls exponentially in \(\chi\) — this is why one says that 1D ground-state physics is a solved problem.

唯一の例外が臨界点です。\(h = 1\) ではエンタングルメント・エントロピーが \(S = (c/6) \ln \xi\) のように対数発散するため、有限の \(\chi\) では表現しきれません。 しかしここでも MPS は「壊れる」のではなく、上品に失敗します。\(\chi\) が保持できる エンタングルメントの上限が、実効的な相関長のカットオフとして働き、

The single exception is the critical point. At \(h = 1\) the entanglement entropy diverges logarithmically, \(S = (c/6) \ln \xi\), which no finite \(\chi\) can accommodate. Yet even here the MPS does not break — it fails gracefully. The entanglement cap acts as an effective cutoff on the correlation length,

という有限エンタングルメント・スケーリングに従います（Pollmann らによる 2009 年の結果）。 図3(b) はまさにこの法則を示しており、逆に言えば、\(\chi\) を系統的に変えて外挿することで 臨界指数やセントラルチャージまで抽出できるということです。有限サイズ・スケーリングの 「サイズ」の役割を \(\chi\) が果たすわけです。

This finite-entanglement scaling (Pollmann et al., 2009) is exactly what Fig. 3(b) displays. Turned around, it means one can extract critical exponents and even the central charge by systematically varying \(\chi\) and extrapolating — the bond dimension plays the role that system size plays in ordinary finite-size scaling.

ダイナミクスとの対比Contrast with dynamics

上の TEBD のページでは、同じ MPS がクエンチ後の実時間発展で エンタングルメントの線形成長に追い越され、短時間で破綻する様子を見ました。 このページはその裏返しです。基底状態（と、ギャップがあれば低励起状態）に対しては、 MPS は「近似」と呼ぶのがためらわれるほど正確で、可解模型の厳密解と 機械精度で一致します。同じアンザッツでも、対象のエンタングルメント構造次第で 無敵にも無力にもなる——テンソルネットワークの面白さはこの落差にあります。

On the TEBD page above, the very same MPS ansatz was overtaken by the linear growth of entanglement after a quench and broke down at short times. This page is the flip side: for ground states (and, given a gap, low-lying states) the MPS is accurate to a degree that makes "approximation" feel like the wrong word, matching the exact solution at machine precision. One ansatz, invincible or helpless depending on the entanglement structure of the target — that contrast is what makes tensor networks fascinating.

参考文献References

・P. Pfeuty, Ann. Phys. 57, 79 (1970)——横磁場 Ising 模型の厳密解。
・S. R. White, Phys. Rev. Lett. 69, 2863 (1992)——DMRG の原論文。
・I. P. McCulloch, arXiv:0804.2509——iDMRG。
・F. Pollmann, S. Mukerjee, A. M. Turner, and J. E. Moore, Phys. Rev. Lett. 102, 255701 (2009)——有限エンタングルメント・スケーリング（図3(b) の \(\kappa\)）。

・P. Pfeuty, Ann. Phys. 57, 79 (1970) — the exact solution of the transverse-field Ising chain.
・S. R. White, Phys. Rev. Lett. 69, 2863 (1992) — the original DMRG paper.
・I. P. McCulloch, arXiv:0804.2509 — iDMRG.
・F. Pollmann, S. Mukerjee, A. M. Turner, and J. E. Moore, Phys. Rev. Lett. 102, 255701 (2009) — finite-entanglement scaling (the \(\kappa\) in Fig. 3(b)).