2次元正方格子のパーコレーションPercolation on the 2D Square Lattice

解説About

サイトパーコレーションでは、格子の各サイトが確率 \(p\) で独立に「占有」され、 最近接で隣り合う占有サイトの集まりをクラスターと呼びます。このページの実装では 各サイトに固定の乱数 \(r_i \in [0,1)\) を割り振り、 \(r_i < p\) のとき占有としています。そのためスライダーで \(p\) を動かすと、クラスターが連続的に成長・融合していく様子が見られます。 熱揺らぎもハミルトニアンもない、純粋に幾何学だけの問題であることに注意してください。

In site percolation, each lattice site is independently "occupied" with probability \(p\), and maximal sets of nearest-neighbor occupied sites are called clusters. In this implementation every site carries a fixed random number \(r_i \in [0,1)\) and is occupied when \(r_i < p\), so dragging the slider lets you watch clusters grow and merge continuously. Note that there is no thermal fluctuation and no Hamiltonian — this is a purely geometric problem.

それでもこの模型は、立派な連続相転移を示します。正方格子のサイトパーコレーションの 臨界点は数値的に

And yet the model exhibits a genuine continuous phase transition. For site percolation on the square lattice the critical point is known numerically to be

で、厳密値は知られていません（ちなみにボンドパーコレーションなら双対性から 厳密に \(p_c = \dfrac{1}{2}\) です）。\(p > p_c\) で 系を貫く無限クラスターが出現し、サイトがそこに属する割合が秩序変数になります。

(no exact value is known — though for bond percolation duality gives exactly \(p_c = \dfrac{1}{2}\)). For \(p > p_c\) an infinite spanning cluster appears, and the fraction of sites belonging to it serves as the order parameter:

相関長（クラスターの典型サイズ）は臨界点に向かって発散します。

The correlation length — the typical cluster size — diverges on approach to the critical point:

臨界点ちょうどでは、クラスターのサイズ分布がべき則に従います。

Exactly at criticality the cluster-size distribution obeys a power law,

そして貫通クラスターは、フラクタル次元

and the spanning cluster is a fractal object with dimension

のスカスカな図形になります。「\(p \to p_c\)」ボタンを押して 最大クラスターを眺めると、あらゆるスケールに穴の空いたフラクタル構造が 見えるはずです。ここに現れた \(\dfrac{5}{36}\) や \(\dfrac{187}{91}\) のような分数の指数が 厳密に分かっている、というのがこの分野の驚くべきところです。

— full of holes on every scale. Press the "\(p \to p_c\)" button and look at the largest cluster to see this fractal structure. The astonishing thing is that fractional exponents like \(\dfrac{5}{36}\) and \(\dfrac{187}{91}\) are known exactly.

なぜ厳密に分かるのか。鍵は、パーコレーションが \(Q\) 状態 Potts 模型と Fortuin–Kasteleyn 表現で結ばれていることです。

Why can they be known exactly? The key is that percolation is tied to the \(Q\)-state Potts model through the Fortuin–Kasteleyn representation,

（\(A\) はボンドの部分集合、\(c(A)\) はそのクラスター数）。 パーコレーションはこの \(Q \to 1\) 極限に対応します。この極限では分配関数は 自明（\(Z = 1\)）になるのに、相関関数は非自明なまま残る——この一見奇妙な 状況こそが、セントラルチャージ \(c = 0\) の非ユニタリー（対数的）共形場理論（CFT: Conformal Field Theory）の世界です。 「乱数を撒くだけ」の最も単純な相転移が、CFT の中でも特に手強いクラスで 記述されるというギャップが、この模型の大きな魅力だと思います。 さらに、臨界クラスターの境界線は SLE₆（Schramm–Loewner Evolution）と呼ばれる共形不変な ランダム曲線になることが知られており（三角格子では Smirnov により証明）、 貫通確率を与える Cardy の公式など、美しい厳密結果の宝庫です。

(\(A\) runs over subsets of bonds and \(c(A)\) counts their clusters). Percolation corresponds to the limit \(Q \to 1\). In this limit the partition function becomes trivial (\(Z = 1\)) while correlation functions remain nontrivial — and this peculiar situation is precisely the realm of a non-unitary (logarithmic) conformal field theory (CFT) with central charge \(c = 0\). The gap between "just sprinkling random numbers" and one of the most demanding classes of CFT is, to me, the great charm of this model. Moreover, critical cluster boundaries are conformally invariant random curves described by SLE₆ (Schramm–Loewner Evolution; proven by Smirnov on the triangular lattice), and exact gems such as Cardy's crossing formula abound.

遊び方のおすすめ：\(p_c\) 付近で「乱数を振り直す」を連打してみて ください。貫通する／しないがサンプルごとに揺らぎます。実は \(p = p_c\) における貫通確率は、系を大きくしても 0 にも 1 にも ならず、アスペクト比だけで決まる普遍的な値に収束します（それを与えるのが Cardy の公式です）。また \(L\) を 32 から 256 まで変えると、転移が どんどん鋭くなっていく有限サイズスケーリングも観察できます。

Suggestions for play: near \(p_c\), hit "Resample" repeatedly — whether the system percolates fluctuates from sample to sample. In fact, the crossing probability at \(p = p_c\) converges, as the system grows, to a universal value that depends only on the aspect ratio (this is what Cardy's formula gives). Varying \(L\) from 32 to 256 also lets you watch finite-size scaling sharpen the transition.

参考文献References

・D. Stauffer and A. Aharony, Introduction to Percolation Theory, 2nd ed. (Taylor & Francis, 1994)——パーコレーション理論の定番教科書。
・M. E. J. Newman and R. M. Ziff, Phys. Rev. Lett. 85, 4104 (2000)——高速アルゴリズムと \(p_c\) の高精度評価。
・J. Cardy, Ann. Phys. 318, 81 (2005)——SLE を物理向けに解説したレビュー。

・D. Stauffer and A. Aharony, Introduction to Percolation Theory, 2nd ed. (Taylor & Francis, 1994) — the classic percolation textbook.
・M. E. J. Newman and R. M. Ziff, Phys. Rev. Lett. 85, 4104 (2000) — fast algorithms and high-precision \(p_c\).
・J. Cardy, Ann. Phys. 318, 81 (2005) — SLE reviewed for physicists.