SSH 模型：トポロジカルエッジ状態と Wannier 中心The SSH Model: Topological Edge States and Wannier Centers

トポロジカル絶縁体の「最小模型」である Su–Schrieffer–Heeger（SSH）模型です。ホッピング比 \(w/v\) を動かして、巻き付き数が跳ぶ瞬間、ゼロエネルギーのエッジ状態が現れる瞬間、そして Wannier 中心がセル中心からボンド中心へ移る瞬間を観察してみてください。

The Su–Schrieffer–Heeger (SSH) model — the minimal model of a topological insulator. Drag the hopping ratio \(w/v\) and watch the winding number jump, zero-energy edge states appear, and the Wannier centers shift from the cell centers to the bond centers.

セル間ホッピングInter-cell hopping \(w/v\) = 1.80（\(v = 1\) 固定fixed）

単位胞の数Number of unit cells \(N\) = 20（\(2N\) サイト、開放端sites, open ends）

巻き付き数Winding number \(W =\) 1 ・ゼロモード数zero modes: 2
Zak 位相Zak phase \(\gamma/\pi =\) 1.000
Wannier 中心Wannier center \(\bar{x} =\) 1/2 （\(0\)：セル中心、\(1/2\)：ボンド中心）(\(0\): cell center, \(1/2\): bond center)
最小固有エネルギーSmallest eigenenergy \(|E|_{\mathrm{min}} =\) —

鎖の模式図と Wannier 中心Chain schematic and Wannier centers

● が A 副格子、■ が B 副格子です。結合線の太さがホッピングの大きさ（セル内 \(v\)、セル間 \(w\)）を表し、◆ が下バンドの Wannier 中心の位置です。 \(v > w\) では Wannier 中心はセルの中（\(v\) ボンド上）にあり、鎖をセル境界で切っても何も切断されません。\(w > v\) では Wannier 中心がセル境界（\(w\) ボンド上）に移るため、端では Wannier 軌道が「半分に切られ」、その残骸がゼロエネルギーのエッジ状態になります。

Circles: A sublattice; squares: B sublattice. Bond thickness indicates the hopping strength (intra-cell \(v\), inter-cell \(w\)), and the diamonds mark the Wannier centers of the lower band. For \(v > w\) the Wannier centers sit inside the cells (on the \(v\) bonds), so terminating the chain at a cell boundary cuts nothing. For \(w > v\) they move to the cell boundaries (the \(w\) bonds): the edge then slices a Wannier orbital in half, and the leftover half is the zero-energy edge state.

開放鎖のスペクトルとエッジ状態Spectrum of the open chain and the edge state

左：開放端の SSH 鎖の全固有エネルギーを \(w/v\) の関数として描いたもの（縦の破線が現在の値）。\(w/v > 1\) でバルクギャップの真ん中に赤い2本のミッドギャップ状態が現れます。厳密にゼロではなく、両端のエッジ状態が鎖を貫いて混成するため指数関数的に小さい分裂 \(|E| \sim (v/w)^{N}\) が残ります（上の観測値で確認できます）。右：最小 \(|E|\) の状態の確率分布 \(|\psi|^{2}\)。トポロジカル相では 2つのミッドギャップ状態を足し引きして左端に局在させたものを示しています。端に指数関数的に局在し、しかも A 副格子（青）のみに振幅を持つこと—— カイラル対称性の帰結——に注目してください。

Left: all eigenenergies of the open SSH chain versus \(w/v\) (the vertical dashed line marks the current value). For \(w/v > 1\) two red mid-gap states appear in the bulk gap. They are not exactly at zero: the two edge states hybridize across the finite chain, leaving an exponentially small splitting \(|E| \sim (v/w)^{N}\) (check the readout above). Right: probability distribution \(|\psi|^{2}\) of the lowest-\(|E|\) state. In the topological phase we show the combination of the two mid-gap states localized at the left edge. Note that it decays exponentially into the bulk and lives purely on the A sublattice (blue) — a consequence of chiral symmetry.

ベクトル \(\boldsymbol{d}(k)\) の軌跡と巻き付き数The trajectory of \(\boldsymbol{d}(k)\) and the winding number

バルクハミルトニアン \(h(k) = \boldsymbol{d}(k)\cdot\boldsymbol{\sigma}\) を特徴づけるベクトル \(\boldsymbol{d}(k) = (v + w\cos k,\ w\sin k)\) の軌跡です。\(k\) が Brillouin 域を一周すると、\(\boldsymbol{d}\) は中心 \((v, 0)\)・半径 \(w\) の円を一周します。この円が原点（×印）を囲むかどうか—— つまり \(w > v\) かどうか——が巻き付き数 \(W\) を決めます。原点はギャップが閉じる点なので、円が原点をまたぐ瞬間（\(v = w\)）を経ない限り \(W\) は変われません。これがトポロジカルな保護の意味です。

The trajectory of the vector \(\boldsymbol{d}(k) = (v + w\cos k,\ w\sin k)\) characterizing the bulk Hamiltonian \(h(k) = \boldsymbol{d}(k)\cdot\boldsymbol{\sigma}\). As \(k\) runs once around the Brillouin zone, \(\boldsymbol{d}\) traces a circle of radius \(w\) centered at \((v, 0)\). Whether this circle encloses the origin (the × mark) — i.e., whether \(w > v\) — determines the winding number \(W\). Since the origin is the gap-closing point, \(W\) cannot change without the circle sweeping through it at \(v = w\). That is what topological protection means.

解説About

模型The model

SSH 模型は、Su–Schrieffer–Heeger（1979）がポリアセチレンの電子状態とソリトンを記述するために導入した、交代ホッピングを持つ1次元強束縛模型です。単位胞に A・B の2サイトを持ち、

The SSH model is a one-dimensional tight-binding model with alternating hoppings, introduced by Su, Schrieffer, and Heeger (1979) to describe the electronic states and solitons of polyacetylene. With two sites A and B per unit cell,

\[ H \;=\; v \sum_{n} \left( c^{\dagger}_{\mathrm{A},n} c_{\mathrm{B},n} + \mathrm{h.c.} \right) \;+\; w \sum_{n} \left( c^{\dagger}_{\mathrm{B},n} c_{\mathrm{A},n+1} + \mathrm{h.c.} \right) \]

と書けます（\(v, w > 0\) とします）。周期境界で Fourier 変換すると、各波数 \(k\) ごとに \(2\times 2\) のブロッホハミルトニアン

(we take \(v, w > 0\)). Fourier transforming with periodic boundaries gives, for each momentum \(k\), the \(2\times 2\) Bloch Hamiltonian

\[ h(k) \;=\; \begin{pmatrix} 0 & v + w e^{-ik} \\ v + w e^{ik} & 0 \end{pmatrix} \;=\; \boldsymbol{d}(k) \cdot \boldsymbol{\sigma}, \qquad \boldsymbol{d}(k) = \left( v + w\cos k,\; w \sin k,\; 0 \right) \]

が得られ、バンドは \(E_{\pm}(k) = \pm|\boldsymbol{d}(k)|\) の2本です。ギャップは \(|v - w|\) で、\(v = w\)（\(k = \pi\)）でのみ閉じます。半分詰まった絶縁体として、\(v > w\) の相と \(w > v\) の相はどちらも同じように「ただの絶縁体」に見えます——バルクのバンド構造だけを見ている限りは。

with two bands \(E_{\pm}(k) = \pm|\boldsymbol{d}(k)|\). The gap is \(|v - w|\) and closes only at \(v = w\) (at \(k = \pi\)). At half filling, the phases \(v > w\) and \(w > v\) both look like perfectly ordinary insulators — as long as you only look at the bulk band structure.

カイラル対称性Chiral symmetry

この模型のホッピングはすべて A 副格子と B 副格子の間を結び、同一副格子内を結ぶ項がありません（二部格子構造）。その帰結として、副格子の符号を反転する演算子 \(\Gamma = \sigma_z\) に対して

Every hopping in this model connects the A and B sublattices; there are no terms within a sublattice (the lattice is bipartite). As a consequence, the operator \(\Gamma = \sigma_z\), which flips the sign of one sublattice, satisfies

\[ \Gamma\, h(k)\, \Gamma \;=\; -\,h(k) \]

が成り立ちます。これがカイラル対称性（副格子対称性）です。3つの重要な帰結があります。第一に、スペクトルは \(\pm E\) で対称になります。第二に、\(\boldsymbol{d}(k)\) の \(z\) 成分が禁止されるため、軌跡は \(d_x\)–\(d_y\) 平面内の閉曲線に限られ、原点の周りの巻き付き数

This is chiral (sublattice) symmetry, and it has three important consequences. First, the spectrum is symmetric under \(E \to -E\). Second, the \(z\)-component of \(\boldsymbol{d}(k)\) is forbidden, so the trajectory is confined to the \(d_x\)–\(d_y\) plane and the winding number about the origin,

\[ W \;=\; \frac{1}{2\pi} \oint dk \; \left( \hat{d}_x \,\partial_k \hat{d}_y - \hat{d}_y \,\partial_k \hat{d}_x \right) \;=\; \begin{cases} 0 & (v > w) \\ 1 & (v < w) \end{cases} \]

が整数として定義できます。ギャップが開いている限り（軌跡が原点を通らない限り）、 \(W\) はホッピングの連続変形で変わりません。第三に、ゼロエネルギー状態はカイラル演算子の固有状態に取れるため、A 副格子のみ、または B 副格子のみに振幅を持ちます。右のエッジ状態のパネルで、青（A）だけが立っているのはこのためです。

is well-defined as an integer. As long as the gap stays open (the loop avoids the origin), \(W\) cannot change under any continuous deformation of the hoppings. Third, zero-energy states can be chosen as eigenstates of the chiral operator, so they live purely on the A sublattice or purely on the B sublattice — which is why only the blue (A) bars appear in the edge-state panel.

バルク・エッジ対応Bulk–boundary correspondence

巻き付き数はバルク（周期境界）の量ですが、その帰結は端に現れます。開放端の SSH 鎖では、片方の端あたりちょうど \(|W|\) 個のゼロエネルギー状態が現れます。これがバルク・エッジ対応です。左のスペクトル図で \(w/v > 1\) の領域に現れる2本のミッドギャップ状態が、左端と右端のエッジ状態に対応します（有限の鎖では両者がわずかに混成し、\(|E| \sim (v/w)^{N}\) の分裂が生じます。\(N\) を増やすと分裂が指数関数的に消えていくのを観測値で確認できます）。

The winding number is a bulk (periodic-boundary) quantity, but its consequence appears at the boundary: an open SSH chain hosts exactly \(|W|\) zero-energy states per edge. This is the bulk–boundary correspondence. The two mid-gap states in the spectrum panel for \(w/v > 1\) are the left- and right-edge states (in a finite chain they hybridize slightly, with splitting \(|E| \sim (v/w)^{N}\) — watch it vanish exponentially as you increase \(N\)).

重要なのは、この対応の頑健さです。ホッピングを乱雑にしても——つまり \(v, w\) をサイトごとにランダムに変えても——カイラル対称性を保つ限り（副格子内ホッピングやオンサイトポテンシャルを入れない限り）、エッジ状態は厳密にゼロエネルギーに留まり続けます。エッジ状態を消す唯一の方法は、バルクのギャップを閉じるか、対称性を壊すことです。「対称性に守られたトポロジカル相（SPT: Symmetry-Protected Topological）」という言葉の意味が、この最小模型に凝縮されています。

What matters is the robustness of this correspondence. Make the hoppings disordered — random \(v, w\) from site to site — and as long as chiral symmetry is preserved (no intra-sublattice hopping, no on-site potentials), the edge states stay pinned exactly at zero energy. The only ways to remove them are to close the bulk gap or to break the symmetry. The phrase "symmetry-protected topological (SPT) phase" is this minimal model in a nutshell.

Zak 位相と Wannier 中心The Zak phase and Wannier centers

巻き付き数と同じ情報は、下バンドのブロッホ状態 \(|u(k)\rangle\) の Berry 位相——1次元では Zak 位相と呼ばれます——にも書き込まれています。

The same information carried by the winding number is also encoded in the Berry phase of the lower-band Bloch states \(|u(k)\rangle\) — in one dimension, the Zak phase:

\[ \gamma \;=\; i \oint dk \; \langle u(k) | \partial_k u(k) \rangle \;=\; \pi W \pmod{2\pi} \]

このページでは \(\gamma\) を離散 Berry 位相（Wilson ループ）として数値的に計算しており、自明相で \(0\)、トポロジカル相で \(\pi\) にぴったり量子化されるのが観測値で見えます。 Zak 位相の物理的な意味を与えるのが Wannier 軌道です。バンドのブロッホ状態を重ね合わせて作る局在軌道（Wannier 軌道）の中心位置は

On this page \(\gamma\) is computed numerically as a discrete Berry phase (a Wilson loop), and the readout shows it quantized exactly to \(0\) in the trivial phase and \(\pi\) in the topological phase. The physical meaning of the Zak phase is provided by the Wannier orbitals: the center of the localized orbital built by superposing the Bloch states of the band sits at

\[ \bar{x} \;=\; \frac{\gamma}{2\pi} \pmod{1} \]

（単位胞の長さを1とした座標）で与えられます。つまり \(\gamma = 0\) の自明相では Wannier 中心は単位胞の中心（\(v\) ボンドの上）にあり、\(\gamma = \pi\) のトポロジカル相ではセルの境界（\(w\) ボンドの上）にあります。これは電子の電気分極そのものでもあり（modern theory of polarization）、トポロジカル相は分極 \(P = e/2\)（単位胞あたり）を持ちます。

(in units where the unit cell has length 1). So in the trivial phase (\(\gamma = 0\)) the Wannier centers sit at the middle of the unit cell, on the \(v\) bonds; in the topological phase (\(\gamma = \pi\)) they sit at the cell boundary, on the \(w\) bonds. This is nothing but the electronic polarization (the modern theory of polarization): the topological phase carries \(P = e/2\) per unit cell.

この描像を使うと、エッジ状態の存在が一枚の絵で理解できます。上の模式図で、鎖はいつもセルの境界で終わります。自明相では Wannier 中心はすべてセルの内部にあるので、端で何も傷つきません。ところがトポロジカル相では Wannier 中心がセル境界のボンド上にあるため、端はちょうど Wannier 軌道を半分に切ってしまいます。切り残された「半分の軌道」が行き場を失い、ギャップの真ん中——カイラル対称性が許す唯一の場所であるゼロエネルギー——に取り残される。これがエッジ状態です。

With this picture, the existence of edge states can be understood in a single image. In the schematic above, the chain always terminates at a cell boundary. In the trivial phase all Wannier centers lie inside the cells, so the termination wounds nothing. In the topological phase the Wannier centers sit on the boundary bonds, so the edge slices a Wannier orbital in half. The stranded half-orbital has nowhere to go and gets stuck in the middle of the gap — at zero energy, the only place chiral symmetry allows. That is the edge state.

ひとつ注意すべき点があります。Zak 位相の値そのものは単位胞の取り方（原点の選び方）に依存します。A–B をセルとするか B–A をセルとするかで \(\gamma\) は \(0\) と \(\pi\) が入れ替わります。物理的に意味があるのは、対称性（ここではカイラル対称性や反転対称性）が \(\gamma\) を \(0\) か \(\pi\) に量子化すること、そして2つの相の「差」が \(\pi\) であることです。実際、どちらの相が「自明」かは端の切り方に依存する、というのは上の Wannier の絵からも明らかです。

One caveat: the value of the Zak phase itself depends on the choice of unit cell (the choice of origin) — taking A–B versus B–A as the cell swaps \(\gamma = 0\) and \(\pi\). What is physical is that symmetry (here chiral or inversion) quantizes \(\gamma\) to \(0\) or \(\pi\), and that the two phases differ by \(\pi\). Indeed, which phase is "trivial" depends on how the chain is cut — as the Wannier picture above makes obvious.

このページの計算と参考書Numerics on this page, and further reading

スペクトルとエッジ状態は開放端の \(2N \times 2N\) ホッピング行列を Jacobi 法で対角化したもの、 Zak 位相は下バンドのブロッホ状態の重なり \(\langle u(k_j) | u(k_{j+1}) \rangle\) の積の偏角（離散 Berry 位相）、巻き付き数は \(\boldsymbol{d}(k)\) の偏角の巻き数として数値的に評価しています。

The spectrum and edge states are obtained by Jacobi diagonalization of the open-chain \(2N \times 2N\) hopping matrix, the Zak phase as the phase of the product of overlaps \(\langle u(k_j) | u(k_{j+1}) \rangle\) (a discrete Berry phase), and the winding number as the numerical winding of the phase of \(\boldsymbol{d}(k)\).

SSH 模型から始めてトポロジカルバンド理論を体系的に学ぶには、 Asbóth–Oroszlány–Pályi 著 A Short Course on Topological Insulators が最適です。同書の第1章はまるごと SSH 模型に充てられており、このページの内容（カイラル対称性、巻き付き数、バルク・エッジ対応）を丁寧に展開したのち、 Berry 位相・Chern 数・2次元のトポロジカル絶縁体へと進んでいきます。

To go from the SSH model to a systematic account of topological band theory, the best starting point is Asbóth–Oroszlány–Pályi, A Short Course on Topological Insulators. Its entire first chapter is devoted to the SSH model, developing exactly the material on this page — chiral symmetry, winding numbers, bulk–boundary correspondence — before moving on to Berry phases, Chern numbers, and two-dimensional topological insulators.

参考文献References

・W. P. Su, J. R. Schrieffer, and A. J. Heeger, Phys. Rev. Lett. 42, 1698 (1979)——SSH 模型の原論文。
・J. Zak, Phys. Rev. Lett. 62, 2747 (1989)——Zak 位相。
・R. D. King-Smith and D. Vanderbilt, Phys. Rev. B 47, 1651 (1993)——分極の現代理論。
・J. K. Asbóth, L. Oroszlány, and A. Pályi, A Short Course on Topological Insulators (Springer, 2016; arXiv:1509.02295)——第1章がまるごと SSH 模型です。
・越野幹人『グラフェンの物理学 —ディラック電子とトポロジカル物性の基礎—』（内田老鶴圃）第6章——SSH 模型とトポロジカル物性の日本語解説。

・W. P. Su, J. R. Schrieffer, and A. J. Heeger, Phys. Rev. Lett. 42, 1698 (1979) — the original SSH paper.
・J. Zak, Phys. Rev. Lett. 62, 2747 (1989) — the Zak phase.
・R. D. King-Smith and D. Vanderbilt, Phys. Rev. B 47, 1651 (1993) — the modern theory of polarization.
・J. K. Asbóth, L. Oroszlány, and A. Pályi, A Short Course on Topological Insulators (Springer, 2016; arXiv:1509.02295) — Chapter 1 is devoted to the SSH model.
・M. Koshino, グラフェンの物理学 (Physics of Graphene), Uchida Rokakuho, Chapter 6 — a Japanese exposition of the SSH model and topological phases.