MPS/TEBD による量子スピン鎖の実時間ダイナミクスReal-Time Quantum Spin-Chain Dynamics with MPS/TEBD

エンタングルメントエントロピー \(S(t)\)（中央ボンド）Entanglement entropy \(S(t)\) (mid bond)

解説About

このページの裏で走っているのは、量子多体状態そのものの時間発展です。 \(N\) 個のスピン \(1/2\) の状態空間は \(2^N\) 次元で、 \(N = 40\) なら約 \(10^{12}\) 個の複素数が必要になり、まともに保持する ことすらできません。そこで登場するのが行列積状態（MPS: Matrix Product State）です。

What runs behind this page is the time evolution of a genuine quantum many-body state. The state space of \(N\) spins-\(1/2\) has dimension \(2^N\) — for \(N = 40\), about \(10^{12}\) complex numbers, too many even to store. Enter the matrix product state (MPS):

各サイトに置いた \(\chi \times \chi\) 行列の積で振幅を表す形で、パラメータ数は およそ \(N \cdot 2 \cdot \chi^2\) 個。\(\chi\)（ボンド次元）が、切り捨てずに 保持できるエンタングルメントの量を決めます。指数的に大きな Hilbert 空間を 多項式個の数で近似する——一見無謀なこの圧縮が機能する理由が、 エンタングルメントの面積則です。1次元ギャップ系の基底状態では 部分系のエントロピーが定数に留まり（Hastings の定理）、臨界系ですら

The amplitudes are products of \(\chi \times \chi\) matrices, roughly \(N \cdot 2 \cdot \chi^2\) parameters in total; the bond dimension \(\chi\) sets how much entanglement can be kept without truncation. The reason this seemingly reckless compression of an exponentially large Hilbert space works is the area law of entanglement: for gapped 1D ground states the entropy of a subregion stays constant (Hastings' theorem), and even at criticality it grows only as

と対数的にしか増えません。つまり物理的な基底状態は、巨大な Hilbert 空間の ほんの片隅——MPS が張る多様体のすぐ近く——に住んでいるのです。

Physical ground states live in a tiny corner of the huge Hilbert space — right next to the manifold spanned by MPS.

この構造を最初に突き止めて実用にしたのが、S. R. White の密度行列繰り込み群 （DMRG: Density Matrix Renormalization Group, 1992）です。DMRG は今日では「MPS 上の変分法」として理解されており、 1次元強相関系では圧倒的な精度を誇る事実上の標準手法になっています。 凝縮系物理での戦績は輝かしく、\(S = 1\) 反強磁性鎖の Haldane ギャップの精密決定、 梯子系や近藤格子の研究、そして円筒形の格子に巻いて「幅の狭い2次元」へ拡張する 使い方では、カゴメ格子反強磁性体のスピン液体基底状態（Yan–Huse–White, 2011）や Hubbard 模型のストライプ秩序の解明など、2次元の強相関問題にも決定的な証拠を 提供してきました。私自身も、基底状態の相図を調べる際の「答え合わせ」として DMRG・テンソルネットワーク法を頼りにしています。

The structure was first uncovered and made practical by S. R. White's density matrix renormalization group (DMRG, 1992). Understood today as a variational method over MPS, DMRG is the de facto standard for 1D strongly correlated systems, with a glittering record in condensed matter: precision determination of the Haldane gap of the S = 1 chain, ladders and Kondo lattices, and — wrapped on cylinders as "narrow 2D" — decisive evidence for the spin-liquid ground state of the kagome antiferromagnet (Yan–Huse–White, 2011) and stripe order in the Hubbard model. I myself lean on DMRG and tensor networks as the referee when mapping out ground-state phase diagrams.

時間発展はどうするか。このページで使っているのが TEBD （Time-Evolving Block Decimation, Vidal 2004）です。ハミルトニアンを 奇数ボンドと偶数ボンドに分け、Trotter 分解

What about time evolution? This page uses TEBD (Time-Evolving Block Decimation, Vidal 2004): split the Hamiltonian into odd and even bonds and Trotterize,

で小さな2サイトゲートの列に直し、ゲートを掛けるたびに特異値分解（SVD: Singular Value Decomposition）で Schmidt 係数の大きい \(\chi\) 個だけを残します。画面の「累積打ち切り誤差」が、 この切り捨ての合計です。実装は素の JavaScript ですが中身は本物で、 厳密対角化（\(N = 10\)）と \(10^{-5}\) 程度（Trotter 誤差の桁）、 テンソルネットワークライブラリ TeNPy（\(N = 20\), 同一条件）とは \(10^{-8}\) の精度で一致することを確認しています。

turning evolution into a sequence of small two-site gates; after each gate a singular value decomposition keeps only the \(\chi\) largest Schmidt values. The "cumulative truncation error" on screen is the total weight discarded. The implementation is plain JavaScript but the physics is real: it agrees with exact diagonalization (\(N = 10\)) at the \(10^{-5}\) level (the Trotter error scale), and with the tensor-network library TeNPy (\(N = 20\), identical settings) to \(10^{-8}\).

扱える模型は2つ。横磁場 Ising 模型

Two models are available: the transverse-field Ising model,

は \(h/J = 1\) に量子臨界点を持つ、量子相転移の最も基本的な模型です （Jordan–Wigner 変換で自由フェルミオンに帰着する可解模型でもあります）。 もうひとつの XXZ 模型

with its quantum critical point at \(h/J = 1\) — the fundamental model of quantum phase transitions (and integrable via Jordan–Wigner fermions). And the XXZ model,

は \(\Delta = 1\) で Heisenberg 鎖になります。おすすめの遊び方：横磁場 Ising で \(|\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\rangle\) から \(h = 1\)（臨界点）へクエンチすると、 磁化が振動しながら減衰し、相関が光円錐状に広がります。ドメイン壁初期状態では、 壁が溶けて広がっていく様子がヒートマップにきれいな光円錐を描きます （情報の伝播速度に上限がある——Lieb–Robinson 限界——ことの現れです）。

which becomes the Heisenberg chain at \(\Delta = 1\). Suggested experiments: in the Ising model, quench from \(|\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\rangle\) to the critical point \(h = 1\) and watch the magnetization ring down while correlations spread in a light cone; with the domain-wall initial state, the melting wall paints a beautiful light cone on the heatmap — a manifestation of the Lieb–Robinson bound on information propagation.

そして、このページの一番の見どころが \(S(t)\) のプロットです。 クエンチ後、エンタングルメントエントロピーは一般に時間に線形に成長します （準粒子ペアが光円錐状に飛んでいく描像）。ところが MPS が保持できる エントロピーは \(\ln \chi\) まで。つまり必要なボンド次元は

And the main attraction is the \(S(t)\) plot. After a quench, entanglement entropy generically grows linearly in time (the quasiparticle- pair picture). But an MPS can hold at most \(\ln \chi\) of entropy, so the required bond dimension grows as

と時間とともに指数的に増えます。プロットの破線（\(\ln \chi\)）に \(S(t)\) が到達すると、打ち切り誤差が急増して計算は信用できなくなります。 \(\chi\) を 8 → 32 と変えて、この「壁」が先送りされるだけで消えないことを 確かめてみてください。ちなみに、壁に達した後さらに回し続けると \(S(t)\) は ゆっくり減少していきますが、これは物理ではありません。保持しきれない エンタングルメントを毎ステップ切り捨てることが非物理的な散逸として働き、 状態を低エンタングルメント側へ押し流してしまうためです（このページが \(t = 20\) で自動停止するのはそのためです）。基底状態では無敵の MPS も、実時間ダイナミクスでは 比較的短い時間までしか正確に追えない——これが1次元ですら残る本質的な限界で、 現在も盛んに研究されている最前線です。

— exponentially. When \(S(t)\) reaches the dashed \(\ln \chi\) line, truncation errors blow up and the simulation loses its accuracy. Try \(\chi\) from 8 to 32: the wall is postponed, never removed. Incidentally, if you keep running past the wall, \(S(t)\) slowly decreases — this is not physics: the entanglement that cannot be stored is discarded at every step, and this truncation acts as an unphysical dissipation that drives the state toward low entanglement (which is why this page stops automatically at \(t = 20\)). MPS, invincible for ground states, can follow real-time dynamics only up to modest times — an essential limitation that persists even in 1D, and an active research frontier.

実務でテンソルネットワーク計算をするなら、成熟したライブラリを使うのが正解です。 ITensor（S. R. White と E. M. Stoudenmire らによる、C++ 版と Julia 版 ITensors.jl）は添字を名前で管理する設計が秀逸で、数式で考えたままの縮約を そのままコードに書けます。TeNPy（F. Pollmann グループ発の Python ライブラリ）は模型定義・対称性（保存量）の扱い・ドキュメントが教育的なまでに 整備されていて、初学者が中身を理解しながら使うのに最適です（このページの検証にも 使いました）。ほかにも quimb、TensorKit.jl、量子化学向けの block2 など エコシステムは充実しています。このページの実装は「中身が全部見える」ことを 優先した教育用のミニマル版だと思ってください。

For real work, use the mature libraries. ITensor (by S. R. White, E. M. Stoudenmire and collaborators; C++ and the Julia port ITensors.jl) has a brilliant named-index design that lets you write contractions exactly as you think them. TeNPy (from F. Pollmann's group, in Python) offers model definitions, symmetry/conserved-quantity handling, and documentation polished to a pedagogical shine — ideal for learning while doing (it was used to validate this page). The ecosystem is rich beyond these: quimb, TensorKit.jl, block2 for quantum chemistry, and more. Regard this page's implementation as a minimal educational version whose every part is visible.

最後に、2次元の話をしなければフェアではありません。2次元では面積則が \(S \propto L\)（境界の長さ）となるため、MPS を蛇行させて張る方法では \(\chi \sim e^{L}\) が必要になります。2次元専用のテンソル ネットワークである PEPS（Projected Entangled Pair States）は 状態の表現としては優れていますが、期待値を 計算するための縮約が厳密には #P 困難で、近似縮約も高コストです。円筒に巻いた DMRG は幅 10 サイト程度が実用限界。そこへさらに、クエンチ後のエンタングルメントの 線形成長が重なる実時間ダイナミクスは、現在の古典計算機にとって最も困難な問題の ひとつです。2次元量子多体系の「基底状態」ですら大変なのに、「ダイナミクス」は 別次元の難しさなのです。だからこそ、冷却原子や量子コンピュータによる量子 シミュレーションに大きな期待が集まり、また同時に、（私が研究で使っている parton 構成法のような）物理的描像に基づく解析的アプローチが、2次元の動的物性で これからも重要であり続けると考えています。

Finally, fairness demands a word about two dimensions. In 2D the area law reads \(S \propto L\) (the boundary length), so a snaked MPS needs \(\chi \sim e^{L}\). PEPS (projected entangled pair states) — the genuinely 2D tensor network — is an excellent representation of states, but contracting it to compute expectation values is #P-hard exactly, and costly even approximately. Cylinder DMRG tops out around widths of ten sites. Add the linear post-quench growth of entanglement on top of all this, and real-time dynamics in 2D becomes one of the hardest problems facing classical computation: if 2D ground states are hard, 2D dynamics is hard on another level. This is exactly why quantum simulation with cold atoms and quantum computers draws such expectations — and why, I believe, analytic approaches built on physical pictures (such as the parton constructions I use in my research) will remain essential for two-dimensional dynamics.

参考文献References

・G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 91, 147902 (2003); 93, 040502 (2004)——TEBD の原論文。
・U. Schollwöck, Ann. Phys. 326, 96 (2011)——MPS/DMRG の定番レビュー。
・J. Hauschild and F. Pollmann, SciPost Phys. Lect. Notes 5 (2018)——TeNPy。
・M. Fishman, S. R. White, and E. M. Stoudenmire, SciPost Phys. Codebases 4 (2022)——ITensor。

・G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 91, 147902 (2003); 93, 040502 (2004) — the original TEBD papers.
・U. Schollwöck, Ann. Phys. 326, 96 (2011) — the standard MPS/DMRG review.
・J. Hauschild and F. Pollmann, SciPost Phys. Lect. Notes 5 (2018) — TeNPy.
・M. Fishman, S. R. White, and E. M. Stoudenmire, SciPost Phys. Codebases 4 (2022) — ITensor.