2次元 XY 模型と Berezinskii–Kosterlitz–Thouless（BKT）転移The 2D XY Model and the Berezinskii–Kosterlitz–Thouless (BKT) Transition

解説About

XY 模型では、各サイトのスピンが平面内の連続的な向き \(\theta_i \in [0, 2\pi)\) を持ちます（画面では \(\theta\) を色相で表しています）。 ハミルトニアンは

In the XY model, each spin has a continuous in-plane orientation \(\theta_i \in [0, 2\pi)\) (shown here as hue). The Hamiltonian is

で、更新は Ising のページと同じ Metropolis 法です（スピンの角度に小さなランダムな 回転を提案して、確率 \(\min(1, e^{-\Delta E/T})\) で受理します）。 色と向きの対応は右上の色相環のとおりで、白い矢印は近くのスピンを平均した 局所的な向き（矢印が長いほど局所的に揃っている）を表します。

and the dynamics is the same Metropolis algorithm as on the Ising page: propose a small random rotation of a spin and accept it with probability \(\min(1, e^{-\Delta E/T})\). The hue-angle correspondence is given by the color wheel in the panel, and the white arrows show the locally averaged spin direction (longer arrows mean better local alignment).

連続対称性を持つ2次元の系では、Mermin–Wagner の定理により有限温度で自発磁化は 存在できません。実際、低温相でもスピン相関は指数関数的にではなく、 温度に依存するべきで減衰します。

In two dimensions with a continuous symmetry, the Mermin–Wagner theorem forbids spontaneous magnetization at any finite temperature. Indeed, even in the low-temperature phase, spin correlations decay not exponentially but as a temperature-dependent power law,

これを準長距離秩序と呼びます。一方、高温相では相関は指数関数的に減衰します。 「真の秩序はないのに相転移はある」——この一見矛盾した状況を解決するのが、 トポロジカル欠陥＝渦です。渦とは、あるプラケットの周りを一周したときに 角度が \(2\pi q\)（\(q = \pm 1, \pm 2, \ldots\)）だけ巻き付いている点のことです。

This is called quasi-long-range order; in the high-temperature phase, correlations decay exponentially instead. "A phase transition without true order" — the resolution of this apparent paradox lies in topological defects: vortices. A vortex is a point around which the angle winds by \(2\pi q\) (\(q = \pm 1, \pm 2, \ldots\)):

画面の「＋」印（\(q = +1\)）と「−」印（\(q = -1\)）が、各プラケットの 巻き付き数から検出した渦・反渦です。マーカーの周りをぐるっと見てください—— ＋印の周りでは、白い矢印（と色相）が一周するあいだに同じ向きにちょうど1回転し、 −印の周りでは逆向きに1回転しています。この「巻き付き」は連続変形では ほどけないので、渦は生成・消滅こそすれ（対で生まれ、対で消えます）、 単独ではじわじわ消えることができません。これがトポロジカル欠陥と呼ばれる所以です。孤立した1個の渦のエネルギーは系のサイズとともに \(E \approx \pi J \ln(L/a)\) と対数発散しますが、位置の選び方から得られる エントロピーも \(S \approx 2\ln(L/a)\) と対数的です。自由エネルギーは

The "+" (\(q = +1\)) and "−" (\(q = -1\)) markers on screen are vortices and antivortices detected from the winding number of each plaquette. Look around a marker: around a "+", the white arrows (and the hue) make exactly one full turn in the same sense as you circle it, and around a "−" one full turn in the opposite sense. This winding cannot be undone by any smooth deformation — vortices are created and annihilated only in pairs, never fading away alone. That is what makes them topological defects. The energy of a single isolated vortex diverges logarithmically with system size, \(E \approx \pi J \ln(L/a)\), but so does the entropy of placing it, \(S \approx 2\ln(L/a)\). The free energy

の符号が変わる温度 \(T \sim \pi J/2\) を境に、低温では渦は反渦と束縛ペアを 組むことしかできず、高温では自由な渦が熱的に増殖します。これが Berezinskii–Kosterlitz–Thouless（BKT）転移で、精密な数値計算による転移温度は \(T_{\mathrm{BKT}} \approx 0.893\,J\) です。対称性の破れを伴わず、自由エネルギーの あらゆる階数の微分が連続という「無限次相転移」であり、転移点では相関関数の指数が 普遍値 \(\eta = \dfrac{1}{4}\) をとり、スピン剛性（ヘリシティ係数）が普遍的にジャンプします。

changes sign around \(T \sim \pi J/2\): below it, vortices can only exist as bound vortex-antivortex pairs; above it, free vortices proliferate thermally. This is the Berezinskii–Kosterlitz–Thouless (BKT) transition, located by precise numerics at \(T_{\mathrm{BKT}} \approx 0.893\,J\). It breaks no symmetry and is of "infinite order" — every derivative of the free energy stays continuous — while at the transition the correlation exponent takes the universal value \(\eta = \dfrac{1}{4}\) and the spin stiffness (helicity modulus) jumps universally:

このトポロジカル欠陥による相転移の発見は、2016年のノーベル物理学賞 （Kosterlitz, Thouless, Haldane）の対象になりました。超流動薄膜、 超伝導薄膜、2次元ボース気体など、実に多くの系がこのユニバーサリティクラスに 属します。

The discovery of this defect-driven transition was honored by the 2016 Nobel Prize in Physics (Kosterlitz, Thouless, Haldane). Superfluid films, superconducting films, and two-dimensional Bose gases all belong to this universality class.

遊び方のおすすめ：まず低温（\(T \approx 0.3\)）で「揃えて初期化」すると、 滑らかな色のグラデーションの中に、渦・反渦がペアで生まれてはすぐ対消滅する様子が 見えます。温度を \(T_{\mathrm{BKT}} \approx 0.89\) に近づけるとペアの間隔が伸びていき、 \(T \approx 1.2\) を超えると自由な渦がばらまかれた「渦のプラズマ」になって、 渦の数が急増します。渦の数と温度の関係を眺めるだけでも、束縛→解離の クロスオーバーがはっきり分かるはずです。

Suggestions for play: start at low temperature (\(T \approx 0.3\)) with "Align" and you will see vortex-antivortex pairs pop into existence and quickly annihilate within the smooth color gradient. As you approach \(T_{\mathrm{BKT}} \approx 0.89\) the pairs stretch farther apart, and beyond \(T \approx 1.2\) the system becomes a plasma of free vortices, with the vortex count shooting up. Just watching the vortex count versus temperature makes the binding-unbinding crossover vivid.

参考文献References

・V. L. Berezinskii, Sov. Phys. JETP 32, 493 (1971)
・J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, J. Phys. C 6, 1181 (1973)——BKT 転移の原論文。
・M. Hasenbusch, J. Phys. A 38, 5869 (2005)——\(T_{\mathrm{BKT}} \approx 0.8929\) の高精度モンテカルロ。

・V. L. Berezinskii, Sov. Phys. JETP 32, 493 (1971)
・J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, J. Phys. C 6, 1181 (1973) — the original BKT papers.
・M. Hasenbusch, J. Phys. A 38, 5869 (2005) — high-precision Monte Carlo giving \(T_{\mathrm{BKT}} \approx 0.8929\).