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• 1経路積分とは何かWhat is a path integral?
• 21 粒子の経路積分Path integral for one particle
• 3虚時間と分配関数Imaginary time & the partition function
• 4ボソンのコヒーレント状態経路積分Coherent-state path integral: bosons
• 5グラスマン数とフェルミオンGrassmann numbers & fermions
• 6場の経路積分と有効作用Fields, actions & effective theories
• 7クーロンガスと RPAThe Coulomb gas & the RPA
• 8超流動のボゴリウボフ理論Bogoliubov theory of superfluidity
• 9経路積分で見る BCS 超伝導BCS superconductivity via path integrals
• 10スピン系の経路積分とハルデン予想Spin path integrals & the Haldane conjecture
• 11まとめと記号表Summary & notation

クーロン相互作用はどの表示でも \(\dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_0 r}\)（SI・有理化）で、フーリエ変換は \(\dfrac{e^{2}}{\varepsilon_0 q^{2}}\) です。\(\hbar\) と \(k_{\mathrm B}\) の扱いだけ、上のボタンで切り替えられます。いまは \(\hbar=k_{\mathrm B}=1\) 表示です。エネルギー・角振動数・温度が同じ単位になり（時間はエネルギーの逆数、\(\beta=1/T\) と読みます）、式から記号の砂嵐が消えます。\(\hbar\) や \(k_{\mathrm B}\) を 1 と置く流儀は、初学者には最初は戸惑うものですが、物性・場の理論の文献の標準語なので、早いうちに慣れておきたいものです。慣れないうちは「明示」モードに切り替えると便利です——次元を一つずつ数えられるぶん、本来はそちらの方が教育的です。いまは \(\hbar\)・\(k_{\mathrm B}\) を明示する表示です。どの量が作用でどれが温度か、次元を一つずつ追えます——教育的には本来こちらが正道です。読み慣れてきたら、文献の標準語である \(\hbar=k_{\mathrm B}=1\) 表示にも慣れておきたいところです。なお、実験値を引用する式（例：\(\hbar\omega_p\simeq6\,\mathrm{eV}\)）と図の中の式は常に明示版で、計量標準の式は慣用どおり \(h\) と \(e\) で書きます。ガウス単位系の文献との対応は置き換え \(e^{2}\to e^{2}/4\pi\varepsilon_0\) で付きます（§7 のコラムに換算辞書）。

In every display the Coulomb interaction is \(\dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_0 r}\) (rationalized SI), with Fourier transform \(\dfrac{e^{2}}{\varepsilon_0 q^{2}}\); only the treatment of \(\hbar\) and \(k_{\mathrm B}\) is switched by the buttons above. You are reading the \(\hbar=k_{\mathrm B}=1\) version: energy, angular frequency and temperature share one unit (time is inverse energy; read \(\beta=1/T\)), and the symbol blizzard disappears from the formulas. Setting \(\hbar\) and \(k_{\mathrm B}\) to 1 feels odd at first, but it is the standard dialect of the condensed-matter and field-theory literature — one worth getting used to early. Until you are, switching to the explicit mode is convenient (and, since every dimension can be counted there, it is in fact the more pedagogical display).You are reading the explicit version, with \(\hbar\) and \(k_{\mathrm B}\) kept throughout so that every dimension can be traced — pedagogically, this is the proper way. Once you read it comfortably, the \(\hbar=k_{\mathrm B}=1\) display — the standard dialect of the literature — is worth getting used to as well. Formulas quoting measured values (e.g. \(\hbar\omega_p\simeq6\,\mathrm{eV}\)) and the formulas inside figures always stay explicit, and metrology formulas keep the customary \(h\) and \(e\). Gaussian-unit literature converts via \(e^{2}\to e^{2}/4\pi\varepsilon_0\) (dictionary in the §7 column).

1.経路積分とは何か——「あらゆる歴史」を足すWhat is a path integral? — summing over every history

量子力学には、同じ内容を語る 3 つの言葉があります。ハイゼンベルクの行列（演算子）、シュレーディンガーの波動関数、そしてこのノートの主役——ファインマンの経路積分です。二重スリットの実験を思い浮かべてください。電子がどちらのスリットを通ったかを問えない以上、スクリーン上の振幅は「スリット A を通る歴史」と「スリット B を通る歴史」の振幅の和です。ではスリットが 3 つなら？　板が 2 枚なら？　極限として、板を無限に増やし、各板のスリットも無限に増やしたら——空間は素通しに戻り、そして振幅は「始点と終点を結ぶありとあらゆる経路についての和」になります。これが経路積分の心です：

Quantum mechanics speaks three languages that say the same thing: Heisenberg's matrices (operators), Schrödinger's wave functions, and the protagonist of this note — Feynman's path integral. Picture the double-slit experiment. Since one cannot ask which slit the electron went through, the amplitude on the screen is the sum of the amplitude for "the history through slit A" and that for "the history through slit B." What if there are three slits? Two plates? Push to the limit — infinitely many plates, each with infinitely many slits — and the plates disappear, while the amplitude becomes a sum over every conceivable path connecting the start point to the end point. That is the heart of the path integral:

各経路は、大きさ 1 の複素数（位相因子）を 1 票ずつ投じます。位相は、その経路に沿って測った古典的な作用 \(S[x(t)]\) を \(\hbar\) で割ったものそのもの（\(\hbar=1\) の単位で測った作用）。ただそれだけの規則から、量子力学のすべてが出てきます。この定式化が物性物理でとりわけ強力なのには、3 つの理由があります。

Each path casts one vote: a complex number of unit modulus, whose phase is the classical action \(S[x(t)]\) along that path divided by \(\hbar\) (in units where \(\hbar=1\)). From this single rule, all of quantum mechanics follows. Three reasons make this formulation especially powerful in condensed-matter physics.

1.1 なぜ経路積分か——3 つのご利益1.1 Why path integrals? — three payoffs

第一に、統計力学と地続きになります。時間 \(t\) を虚数に回す（\(t=-i\tau\)、ウィック回転）と、振幅の重み \(e^{iS}\) はボルツマン因子そっくりの実の重み \(e^{-S_E}\) に変わり、分配関数 \(Z=\mathrm{Tr}\,e^{-\beta H}\) が「虚時間方向に一周する経路の和」として書けます（§3）。量子力学の時間発展と有限温度の統計力学が、同じ 1 本の式で扱える——多体問題では、これが決定的に効きます。

First, it is contiguous with statistical mechanics. Rotating time to imaginary values (\(t=-i\tau\), the Wick rotation) turns the oscillating weight \(e^{iS}\) into a real, Boltzmann-like weight \(e^{-S_E}\), and the partition function \(Z=\mathrm{Tr}\,e^{-\beta H}\) becomes a sum over paths that wind once around the imaginary-time direction (§3). Quantum dynamics and finite-temperature statistical mechanics are handled by one and the same formula — decisive for many-body problems.

第二に、「積分する」操作が自在になります。演算子の言葉では難しい変形——相互作用を補助場で置き換える（ハバード–ストラトノビッチ変換）、一部の自由度だけを積分して消す（有効理論の構成）、鞍点のまわりで展開する（平均場＋ゆらぎ）——が、経路積分ではただのガウス積分の反復になります（§6）。クーロンガスの遮蔽もプラズモンも、超流動も超伝導も、この一つの型で導けます（§7–§9）。

Second, "integrating things out" becomes routine. Manipulations that are awkward with operators — trading an interaction for an auxiliary field (the Hubbard–Stratonovich transformation), eliminating chosen degrees of freedom (building effective theories), expanding around saddle points (mean field plus fluctuations) — reduce, in the path integral, to repeated Gaussian integration (§6). Screening and plasmons in the Coulomb gas, superfluidity, and superconductivity all come from this single template (§7–§9).

第三に、位相とトポロジーが見えます。重みが位相因子である以上、経路の空間が「巻き数」で分類されるとき、その巻き数ごとに干渉が起きます。スピンの経路積分に現れるベリー位相の項はその代表で、反強磁性スピン鎖のスピンが整数か半整数かで物理が根本から変わるというハルデン予想は、経路積分でこそ明瞭に理解できます（§10）。姉妹ノート「はじめてのトポロジカル物性」で主役だったベリー位相が、ここでは作用の一部として自然に顔を出します。

Third, phases and topology become visible. Because the weight is a phase factor, whenever the space of paths splits into winding classes, the classes interfere. The Berry-phase term of the spin path integral is the prime example: the Haldane conjecture — that antiferromagnetic spin chains differ fundamentally between integer and half-integer spin — is most transparent in path-integral language (§10). The Berry phase, protagonist of the companion note "A First Course in Topological Matter," reappears here as a natural part of the action.

1.2 このノートの歩き方1.2 How this note proceeds

前半（§2–§6）は道具作りです。§2 で 1 粒子の経路積分を丁寧に導出し、§3 で虚時間に回して統計力学へ接続します。§4–§5 では多体系に進むための言葉——ボソンのコヒーレント状態と、フェルミオンのためのグラスマン数——を導入し、自由粒子の分配関数からボース分布・フェルミ分布が正しく再現されることを、有限次元の行列式だけを使って厳密に確かめます。§6 でガウス積分・ウィックの定理・ハバード–ストラトノビッチ変換という「三種の道具」を整えます。

The first half (§2–§6) builds the tools. §2 derives the single-particle path integral carefully; §3 rotates to imaginary time and connects to statistical mechanics. §4–§5 introduce the language needed for many bodies — coherent states for bosons, Grassmann numbers for fermions — and verify rigorously, using nothing but finite-dimensional determinants, that the free partition functions reproduce the Bose and Fermi distributions. §6 assembles the three workhorses: Gaussian integrals, Wick's theorem, and the Hubbard–Stratonovich transformation.

後半（§7–§10)は実戦です。フェルミ系の代表としてクーロンガス（遮蔽・プラズモン・RPA、§7）、ボース系の代表として超流動（ボゴリウボフ理論、§8）、両者の合流点としてBCS 超伝導（§9）、そして経路積分ならではの話題としてスピン系とハルデン予想（§10）を扱います。全体を貫く主題は「粒子数と位相は共役である」という一点です。数を固定すれば位相が揺らぎ、位相をそろえれば数が揺らぐ——超流動も超伝導もジョセフソン効果も、この一つの対の上に立っています。

The second half (§7–§10) is practice: the Coulomb gas as the representative fermionic problem (screening, plasmons, RPA — §7), superfluidity as the bosonic one (Bogoliubov theory — §8), BCS superconductivity where the two meet (§9), and spin chains and the Haldane conjecture as the distinctly path-integral topic (§10). One theme runs through everything: particle number and phase are conjugate. Fix the number and the phase fluctuates; lock the phase and the number fluctuates — superfluidity, superconductivity, and the Josephson effect all stand on this single pair.

前提知識は、量子力学の初歩（ブラケット、調和振動子、生成消滅演算子）と、統計力学の初歩（分配関数、ボース・フェルミ分布——姉妹ノート「はじめての量子統計」で組み立てたもの）だけです。第二量子化は §4 の冒頭で使う分を最小限だけ復習します。図はすべて数値計算またはこの構成に合わせて描いた模式図で、数値はいずれも本文の式から独立に検算してあります。

The prerequisites are elementary quantum mechanics (bra–kets, the harmonic oscillator, creation and annihilation operators) and elementary statistical mechanics (partition functions and the Bose/Fermi distributions, as assembled in the companion note "A First Course in Quantum Statistics"). The minimal second quantization needed is reviewed at the start of §4. All figures are either numerical computations or schematic drawings made for this structure, and every quoted number has been checked independently of the text.

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11.まとめと記号表Summary & notation

歩いた道を振り返ります。出発点は「すべての歴史を \(e^{iS}\) で足す」（§1–§2）、それをウィック回転して「分配関数＝虚時間円筒を巡る経路の和」（§3）。多体系の言葉としてコヒーレント状態とグラスマン数を整え、円筒の貼り合わせの符号が統計そのものであること、自由場の行列式がボース分布・フェルミ分布を厳密に返すことを確かめました（§4–§5）。道具（ガウス積分・ウィックの定理・HS 変換）を束ねた 3 段テンプレート「分解・積分・展開」（§6）を、密度チャネル（遮蔽とプラズモン、§7）、凝縮チャネル（ボゴリウボフ、§8）、対チャネル（BCS とアンダーソン–ヒッグス、§9）で 3 回転させ、最後にスピンのベリー位相と \(\theta\) 項がハルデン予想を生むところまで進みました（§10）。

Looking back: start from "sum all histories with \(e^{iS}\)" (§1–§2); Wick-rotate to "the partition function is a sum over paths on the imaginary-time cylinder" (§3). With coherent states and Grassmann numbers as the many-body language, we saw that the gluing sign of the cylinder is statistics itself, free-field determinants returning the Bose and Fermi distributions exactly (§4–§5). The three-step template — decouple, integrate, expand (§6) — then turned three times: density channel (screening and plasmons, §7), condensation channel (Bogoliubov, §8), pairing channel (BCS and Anderson–Higgs, §9); finally the spin Berry phase and its \(\theta\) term delivered the Haldane conjecture (§10).

全体を貫いたのは、1 階微分の作用が定める共役対でした。\((\rho,\theta)\)——数と位相（§4.5）。位相がそろえば超流動（§8）、対の位相なら超伝導とジョセフソン効果（§9）、スピンなら \((S_z,\varphi)\) の幾何がベリー位相と \(\theta\) 項（§10）。粒子として数えるか、波として位相を追うか——量子多体系の二面性を、経路積分は作用の 1 行目に書き込んでいるのです。

One thread ran through everything: the conjugate pair written into the first line of a first-order action. \((\rho,\theta)\) — number and phase (§4.5). Phase locked: superfluidity (§8); pair phase: superconductivity and Josephson physics (§9); for spins, the \((S_z,\varphi)\) geometry becomes Berry phase and \(\theta\) term (§10). To count particles or to follow the wave's phase — the path integral writes this duality of quantum matter into the very first term of the action.

記号表Notation

\(K(x_f,t;x_i,0)\)	プロパゲータ \(\langle x_f|e^{-iHt}|x_i\rangle\)（§2）propagator (§2)
\(S_E\)	ユークリッド作用（\(t=-i\tau\)。重みは \(e^{-S_E}\)、§3）Euclidean action (weight \(e^{-S_E}\), §3)
\(\omega_n\)	松原振動数：ボソン \(2n\pi/\beta\)（周期的）、フェルミオン \((2n{+}1)\pi/\beta\)（反周期的）Matsubara frequencies: bosonic \(2n\pi/\beta\), fermionic \((2n{+}1)\pi/\beta\)
\(|z\rangle,\ |\psi\rangle\)	コヒーレント状態（ボソン §4／グラスマン §5）。\(\langle w|z\rangle=e^{\bar wz}\)coherent states (boson §4 / Grassmann §5); \(\langle w|z\rangle=e^{\bar wz}\)
\(\det A,\ 1/\det A\)	ガウス積分の値（フェルミオン／ボソン。§5–§6）Gaussian integrals (fermion / boson, §5–§6)
\(V(\boldsymbol q)=e^{2}/\varepsilon_0q^{2}\)	クーロン相互作用（SI。実空間 \(e^{2}/4\pi\varepsilon_0r\)、§6–§7）Coulomb interaction (SI; \(e^{2}/4\pi\varepsilon_0r\) in real space)
\(\chi_0,\ \varepsilon=1-V\chi_0\)	リントハルト関数と RPA 誘電関数（§7）Lindhard function and RPA dielectric function (§7)
\(\kappa,\ \omega_p\)	トーマス–フェルミ波数 \(\sqrt{e^{2}N(0)/\varepsilon_0}\)、プラズマ振動数 \(\sqrt{ne^{2}/\varepsilon_0m}\)Thomas–Fermi wave number, plasma frequency
\(E_k\)	ボゴリウボフ \(\sqrt{\varepsilon_k(\varepsilon_k+2gn_0)}\)（§8）／BCS \(\sqrt{\xi_k^{2}+|\Delta|^{2}}\)（§9）Bogoliubov (§8) / BCS (§9) spectra
\(\Delta,\ \lambda_L\)	ギャップ場とロンドン侵入長 \(\sqrt{m/\mu_0n_se^{2}}\)（§9）gap field and London depth (§9)
\(\omega[\hat{\boldsymbol n}],\ Q,\ \theta\)	立体角・巻き数・トポロジカル角 \(\theta=2\pi S\)（§10）solid angle, winding number, topological angle \(\theta=2\pi S\) (§10)

規約の再掲：SI（有理化）単位系、電子電荷 \(-e\)（\(e>0\)）、既定表示は \(\hbar=k_{\mathrm B}=1\)（冒頭のボタンで明示表示に切替可）\(\hbar\)・\(k_{\mathrm B}\) は明示表示中（冒頭のボタンで \(\hbar=k_{\mathrm B}=1\) に切替可）、ガウス単位系の文献とは置き換え \(e^{2}\to e^{2}/4\pi\varepsilon_0\) で対応（詳細な対訳表は §7 のコラム）。図はすべて数値計算またはこの構成に合わせて描いた模式図で、主要な数値（トロッター誤差 \(N^{-2}\)、松原部分和の \(1/M\) 収束、\(F(0)=1\)・\(F(1)=\dfrac12\)、\(u_k^{2}-v_k^{2}=1\)、\(\Delta_0/T_c=1.7639\)、\(T_c\) 直下の \(3.06\sqrt{1-T/T_c}\)）は本文と独立に検算してあります。

Conventions restated: rationalized SI; electron charge \(-e\) (\(e>0\)); the default display sets \(\hbar=k_{\mathrm B}=1\) (switchable to explicit at the top);\(\hbar\), \(k_{\mathrm B}\) are shown explicitly (switchable to \(\hbar=k_{\mathrm B}=1\) at the top); Gaussian-unit literature converts via \(e^{2}\to e^{2}/4\pi\varepsilon_0\) (full dictionary in the §7 column). All figures are numerical computations or purpose-drawn schematics; the key numbers (Trotter \(N^{-2}\), Matsubara \(1/M\), \(F(0)=1\), \(F(1)=\dfrac12\), \(u_k^{2}-v_k^{2}=1\), \(\Delta_0/T_c=1.7639\), \(3.06\sqrt{1-T/T_c}\)) were checked independently of the text.

参考文献References

本ノートの骨組みにした 3 冊
・永長直人 著『物性論における場の量子論』（岩波書店、1995）——第 2 章（経路積分による量子化）と第 4・5 章（クーロンガスの RPA、超流動のボゴリウボフ理論、経路積分による超伝導理論）が本ノートの §2・§4–§5・§7–§9 の範囲に対応します。粒子数と位相の共役性を軸に据える視点はこの本に学びました。ガウス単位系なので、§7 の換算辞書を添えて読むことになります。
・藤本聡・川上則雄 共著『量子多体系の物理――量子現象の基礎を理解するために』（サイエンス社 SGC ライブラリ 87、2011）——1.2 節（ボゾン・フェルミオン・スピンの経路積分）と 2.4 節（反強磁性体の非線形シグマ模型）、3.4 節（ハルデンギャップ）が §4–§5・§10 に対応。スピン系の経路積分の「ご利益」を最短で見せてくれる構成で、§10 の道順はこの本に多くを負っています。くりこみ群・共形場理論への続きもこの本で。
・P. Coleman, Introduction to Many-Body Physics (Cambridge Univ. Press, 2015)——Chap. 12–13（コヒーレント状態と経路積分）。自由場の経路積分がボース・フェルミ分布を正しく返すことを丁寧に確かめる流儀は、§4.3・§5.4 の有限 \(N\) 行列式の計算の手本です。

そのほかの教科書
・R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals (McGraw-Hill, 1965; emended ed. Dover, 2010)——創始者自身による §2 の世界。
・A. Altland and B. D. Simons, Condensed Matter Field Theory (3rd ed., Cambridge Univ. Press, 2023)——本ノート全域の現代的標準書。
・J. W. Negele and H. Orland, Quantum Many-Particle Systems (Addison-Wesley, 1988)——コヒーレント状態経路積分の古典的教科書。
・A. Auerbach, Interacting Electrons and Quantum Magnetism (Springer, 1994)——スピン経路積分と \(\theta\) 項（§10）を深掘りするならまずこの本。

原論文（抜粋）
・P. A. M. Dirac, Phys. Z. Sowjetunion 3, 64 (1933)／R. P. Feynman, Rev. Mod. Phys. 20, 367 (1948)——ラグランジアンと量子力学、経路積分の定式化。
・T. Matsubara, Prog. Theor. Phys. 14, 351 (1955)——虚時間形式。
・R. L. Stratonovich, Sov. Phys. Dokl. 2, 416 (1957)／J. Hubbard, Phys. Rev. Lett. 3, 77 (1959)——補助場変換。
・D. Bohm and D. Pines, Phys. Rev. 92, 609 (1953)——RPA とプラズモン。
・M. Gell-Mann and K. A. Brueckner, Phys. Rev. 106, 364 (1957)——高密度電子ガスの相関エネルギー（リング和）。
・N. N. Bogoliubov, J. Phys. (USSR) 11, 23 (1947)——弱相互作用ボース気体。
・J. Bardeen, L. N. Cooper, and J. R. Schrieffer, Phys. Rev. 108, 1175 (1957)——BCS 理論。
・P. W. Anderson, Phys. Rev. 130, 439 (1963)／P. W. Higgs, Phys. Rev. Lett. 13, 508 (1964)——ゲージ場の質量獲得。
・B. D. Josephson, Phys. Lett. 1, 251 (1962)——ジョセフソン効果。
・F. D. M. Haldane, Phys. Lett. A 93, 464 (1983); Phys. Rev. Lett. 50, 1153 (1983)——ハルデン予想。
・E. Lieb, T. Schultz, and D. Mattis, Ann. Phys. 16, 407 (1961)——LSM 定理。
・I. Affleck, T. Kennedy, E. H. Lieb, and H. Tasaki, Phys. Rev. Lett. 59, 799 (1987)——AKLT 模型。
・M. V. Berry, Proc. R. Soc. London A 392, 45 (1984)——ベリー位相。

The three backbones
・N. Nagaosa, Quantum Field Theory in Condensed Matter Physics (Iwanami, 1995, in Japanese; Springer edition available) — Chap. 2 (path-integral quantization) and Chaps. 4–5 (RPA for the Coulomb gas, Bogoliubov theory, superconductivity via path integrals) correspond to §2, §4–§5, §7–§9 here; the number–phase viewpoint of this note follows this book. Written in Gaussian units — read with the §7 dictionary at hand.
・S. Fujimoto and N. Kawakami, Physics of Quantum Many-Body Systems (Saiensu-sha, SGC Library 87, 2011, in Japanese) — Secs. 1.2, 2.4, 3.4 correspond to §4–§5 and §10; the §10 route owes much to its economical treatment of spin path integrals and the Haldane gap, and it continues into the renormalization group and conformal field theory.
・P. Coleman, Introduction to Many-Body Physics (Cambridge Univ. Press, 2015) — Chaps. 12–13; its careful check that free-field path integrals reproduce the Bose and Fermi distributions is the model for our finite-\(N\) determinants in §4.3 and §5.4.

Further textbooks
・R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals (1965; Dover 2010). ・A. Altland and B. D. Simons, Condensed Matter Field Theory (3rd ed., 2023). ・J. W. Negele and H. Orland, Quantum Many-Particle Systems (1988). ・A. Auerbach, Interacting Electrons and Quantum Magnetism (1994).

Original papers (selection)
・P. A. M. Dirac, Phys. Z. Sowjetunion 3, 64 (1933); R. P. Feynman, Rev. Mod. Phys. 20, 367 (1948). ・T. Matsubara, Prog. Theor. Phys. 14, 351 (1955). ・R. L. Stratonovich, Sov. Phys. Dokl. 2, 416 (1957); J. Hubbard, Phys. Rev. Lett. 3, 77 (1959). ・D. Bohm and D. Pines, Phys. Rev. 92, 609 (1953). ・M. Gell-Mann and K. A. Brueckner, Phys. Rev. 106, 364 (1957). ・N. N. Bogoliubov, J. Phys. (USSR) 11, 23 (1947). ・J. Bardeen, L. N. Cooper, and J. R. Schrieffer, Phys. Rev. 108, 1175 (1957). ・P. W. Anderson, Phys. Rev. 130, 439 (1963); P. W. Higgs, Phys. Rev. Lett. 13, 508 (1964). ・B. D. Josephson, Phys. Lett. 1, 251 (1962). ・F. D. M. Haldane, Phys. Lett. A 93, 464 (1983); Phys. Rev. Lett. 50, 1153 (1983). ・E. Lieb, T. Schultz, and D. Mattis, Ann. Phys. 16, 407 (1961). ・I. Affleck, T. Kennedy, E. H. Lieb, and H. Tasaki, Phys. Rev. Lett. 59, 799 (1987). ・M. V. Berry, Proc. R. Soc. London A 392, 45 (1984).

本サイトの関連ページ：はじめての量子統計（ボース・フェルミ分布、BEC）／はじめての第一原理計算（ジェリウム・交換相関エネルギー・\(r_s\)）／はじめてのトポロジカル物性（ベリー位相・巻き数・SPT 相）。

Related pages on this site: A First Course in Quantum Statistics (Bose/Fermi distributions, BEC); First Steps in First-Principles Calculations (jellium, exchange–correlation, \(r_s\)); A First Course in Topological Matter (Berry phases, winding numbers, SPT phases).